UNIVERSIT´E DE BORDEAUX MASTER 1, 2016/2017 OUTILS DE SIMULATION
CENTRE DE MASSE D’UNE MARCHE AL´ EATOIRE
Soient d∈ N∗ et (Xi)i∈N∗ des variables al´eatoires i.i.d. `a valeurs dans Rd. On note µ l’esp´erance des Xi (si elle existe) et Γ la matrice de covariance desXi (si elle existe).
On consid`ere la marche al´eatoire (Sn)n∈NsurRdd´efinie parS0 := 0 etSn := n1Pn i=1Xi pourn >1.
Associ´e `a cette marche al´eatoire, on peut ´egalement d´efinir le processus de centre de masse (Gn)n∈N d´efini par G0 := 0 et Gn:=:= n1Pn
i=1Si pour n>1.
L’´etude math´ematique de ce centre de masse permet de d´emonter un certain nombre de comportement asymptotique. Tout d’abord, si E[||Xi||]<+∞ alors
n→∞lim Gn
n = 1
2µ p.s.
De plus, si E[||Xi||2]<+∞ et si Γ est d´efinie positive, alors on a
√n Gn
n − µ 2
L
−→ Nd(0,Γ/3).
Si on consid`ere la marche sym´etrique sur Zd, c’est `a dire la marche pour laquelle la probabilit´e d’aller `a gauche est ´egale `a la probabilit´e d’aller `a droite dans toutes les directions, alors on a, lorsque d≥2,
n→∞lim
log||Gn||
logn = 1
2 p.s.
Cr´eer un code Scilab permettant de simuler le centre de masse et de visualiser les convergences p.s. et normalit´es asymptotiques dans les diff´erentes situations d´ecrites ci- dessus. Que se passe-t-il sid = 1 dans le dernier r´esultat de convergence ?
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