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D1956 - Une promenade nagelienne

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Academic year: 2022

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Les deux côtés d’un triangle acutangle ABC ont pour longueur  l’un 11 et l’autre 10.  Le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés du triangle avec les cercles exinscrits est sur le cercle inscrit. Calculer la longueur du troisième côté.

Ce point de concours est le point N de Nagel ; si I et G sont respectivement le centre du cercle inscrit et le centre de gravité du triangle ABC, un théorème dû au même Nagel établit que I est le point de Nagel du triangle médian, ce qui revient à dire que I se déduit de N par l’homothétie de centre G, de rapport -1/2.

Donc GN=2IG ou encore IN=3IG.

Soient a, b, c les longueurs des cotés du triangle, p le demi-périmètre et r le rayon du cercle inscrit ; nous cherchons donc un triangle tel que IN=r.

Or pr2=(p-a)(p-b)(p-c)=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/8, pIN2=9pIG2=(a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)-9abc/2-(a3+b3+c3)/2

Avec deux cotés de longueurs 11 et 10, la longueur x du troisième coté est alors

solution d’une équation du 3ème degré (21-x)(x2-1)/8=-x3/2+21x2-274x+2289/2, qui admet x=7 pour racine. Alors chaque membre vaut 84, p=14, et r=√6.

D1956 - Une promenade nagelienne

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