DATE : Mercredi 07/10/2015 TproOL, M SERRE
DEMARCHE D'INVESTIGATION
DECOUVRIR LES FONCTIONS DERIVEES DE 2 FONCTIONS DE REFERENCE
Partie A. Fonction dérivée de la fonction carré
Soit f la fonction définie sur ]– ∞ ∞ ∞ ∞ ; + ∞ ∞ ∞[ par f(x) = x². C ∞
fest sa courbe représentative. On veut étudier la tangente à la courbe et la courbe dérivée.
I. Expérimentation avec GeoGebra
1. Lancer GeoGebra et tracer Cf en tapant dans "Saisie" en bas à gauche de l'écran
2. Sélectionner le curseur a puis "cliquer gauche" n'importe où dans la partie graphique.
Dans la fenêtre qui apparaît, remplir comme ci-contre.
3. Placer sur Cf le point A d’abscisse a, en écrivant dans "Saisie" : A=(a,f(a))
4. Trouver et sélectionner le curseur Cliquer sur la courbe Cf puis sur le point A.
Vous venez de tracer la tangente à Cf au point A. Cette tangente s'appelle en principe b: y = 2x – 1
5. Faire afficher le coefficient directeur m de cette tangente, en écrivant dans "Saisie" : m=pente[b]
6. a. Placer le point M de coordonnées (a ; m) en écrivant dans "Saisie" : M=(a,m) b. Sélectionner "Afficher la trace" du point M (en "cliquant droit" sur le point M).
7. Faire varier le curseur et observer la trace du point M lorsque la tangente se déplace le long de la courbe Cf
représentative de la fonction x².
II. Exploitation
1. Quelle est la nature (parabole, hyperbole, droite, etc) de la courbe C’ décrite par le point M ? ...
2. Soit f ’la fonction dont la représentation graphique est la courbe C’.
Trouver l’expression de f ’(x) en créant une droite passant par deux points de la trace en utilisant et / ou et en affichant son équation sous la forme y = ax + b ("clic droit" sur la droite).
Noter son équation : f '(x) = y = …...
3. La fonction f ’est appelée fonction dérivée de f.
On dit que f est dérivable sur ]– ∞; + ∞[ et a pour dérivée f ’.
Compléter la phrase suivante :
« Soit f(x) = x². f est dérivable et pour tout nombre x, f ’(x) = …... »
Page 1 / 2
DATE : Mercredi 07/10/2015 TproOL, M SERRE
DEMARCHE D'INVESTIGATION
DECOUVRIR LES FONCTIONS DERIVEES DE 2 FONCTIONS DE REFERENCE
Cette partie est à faire en utilisant ce que vous avez vu sur la page 1.
Partie B. Fonction dérivée de la fonction cube
Soit g la fonction définie sur ]– ∞ ∞ ∞; + ∞ ∞ ∞ ∞ ∞[ par g(x) = x
3. On note C
gsa courbe représentative.
On veut aussi étudier la tangente à la courbe et la courbe dérivée.
I. Expérimentation
1. Ouvrir une nouvelle fenêtre de GeoGebra et tracer Cg (la puissance s'écrit comme à la calculatrice).
2. Créer un curseur b prenant ses valeurs dans l'intervalle de – 10 à 10 avec un pas (incrément) de 0,1.
3. Placer sur Cg le point B d’abscisse b. Ce point B a pour coordonnées B (b ; …...).
4. Tracer la tangente à Cg au point B.
5. Faire afficher le coefficient directeur m de cette tangente. (ATTENTION AU NOM DE LA TANGENTE) 6. a. Placer le point M de coordonnées (b ; m) en tapant dans "Saisie" : M=...
b. Sélectionner "Afficher la trace" du point M.
7. Faire varier le curseur et observer la trace du point M.
I. Exploitation
1. Quelle est la nature de la courbe C’ décrite par le point M ? …...
2. Soit g’ la fonction dont la représentation graphique est la courbe C’. Nous allons trouver l'expression de g’.
a. Créer un curseur a prenant ses valeurs entre – 5 et 5 avec un pas de 0,1.
b. Tracer la courbe représentative de la fonction h(x) = ax² en tapant dans
c. Trouver la position du curseur a afin que la courbe représentative de h coïncide avec la trace du point M.
Noter son équation : g'(x) = h(x) = …...
3. La fonction g’ est appelée fonction dérivée de g.
On dit que g est dérivable sur ]– ∞; + ∞[ et a pour dérivée g’.
Compléter la phrase suivante :
« Soit g(x) = x3. g est dérivable et pour tout nombre x, g’(x) = ……… »
Partie C. Imagination
La fonction dérivée de x² est 2x La fonction dérivée de x3 est 3x²
Quelle pourrait être la fonction dérivée de x4 : …... ? de x5 : …...?
Quelle pourrait être la fonction dérivée de 2x + 3 : …...?
Page 2 / 2
