Autoroute Paris Lyon : une solution
Soit DT la distance entre le point de croisement de A et B (à 8 H) et celui de E et F (à 10 H).
On note VA, VB, VC, VD, VE et VF les vitesses constantes de chacune des 6 voitures.
De l’énoncé, on déduit :
E et A se croisent à 12 heures => (12-8).VA + (12-10).VE = DT E et B se croisent à 14 heures => (14-8).VB + (14-10).VE = DT
E et C se croisent à 15 heures => VA + (15-9).VC + (15-10).VE= DT (VA est la distance parcourue par C avant 9 heures)
C et F se croisent à 13 heures => VA + (13-9).VC + (13-10).VF= DT En fixant VE, on déduit VA, puis VB, puis VC et enfin VF :
2 4 6 14
; ; ;
4 6 8 12
DT VE DT VE DT VE DT VE
VA VB VC VF
Ensuite, on détermine T1, heure de croisement de B et C :
-VA + (T1-8).VB – (T1-9).VC = 0 équivalent à : (T1-8) (VB - VC) = VA – VC On trouve T1 = 11 heures, car on a :
2 2
24 et 8
DT VE DT VE
VB VC VA VC
… et T2, heure du croisement de A et F : (T2-8).VA + (T2-10).VF = DT équivalent à :
2 7 14
( 2 8)
3 6
DT VE DT VE
T
soit T2 = 11,50 heuresOn en déduit la vitesse de D = la distance parcourue entre T1 (croisement de B et C, doublées par D) et T2 (croisement de F et A et de F et D) en désignant par X l’heure de départ de D au point de croisement entre A et B :
(11,50 ) (11,50 10)
(11 ) (11 8) 0. On en déduit : 2 3 6 ,
3 2
soit
4
X VD VF DT
X VD VB VD DT VF VB
DT VE VD
Petite astuce : il ne faut pas chercher à calculer X, source de complications sans fin, mais s’arrêter à l’expression formelle.
On sait que D double A à 11,50 heures. Donc on a : (11,50- X).VD = 3,50 VA, soit d’une autre manière : X = 11.50 -3,5 VA/VD.
On peut maintenant déterminer l’heure T3 de croisement entre E et D. On a à résoudre : (T3-10)VE + (T-X).VD = DT qui équivaut à T3.(VE+VD)=DT +10VE+11,5VD-3,5A On trouve T3 = 11 heures et 40 minutes.
Pour le véhicule le plus rapide, on intuite dans l’énoncé que c’est D. Pour le démontrer, il suffit d’écrire DT comme un multiple de VE et on établit que D est la plus rapide de toute si ce multiple est strictement supérieur à 1.
