A331. Primo-accointances
Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :
P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 et n + 17 sont tous premiers.
P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.
Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.
Solution proposée par Paul Voyer
P1
Une étude exhaustive (EXCEL) donne la seule valeur n=30, encadrée par les premiers : 3, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47.
P2
Le plus grand entier recherché doit être : multiple de 2 pour être supérieur à 4, multiple de 3 pour être supérieur à 9 multiple de 5 pour être supérieur à 25.
La valeur 30=2x3x5 convient.
Il devrait aussi être multiple de 7 pour être supérieur à 49.
Mais la valeur 210 = 2x3x5x7 est supérieure à 11²=121 et ne convient donc pas.
Au-delà de 210, la valeur 2310 = 2x3x5x7x11 ne convient pas car très supérieure à 13²=139.
Ensuite, les choses ne s'arrangent pas, la croissance nécessaire du nombre étant beaucoup plus rapide que celle des carrés des facteurs premiers successifs.
