Exercices 10
Cours d’introduction `a la logique, semestre d’hiver 2003-2004 A rendre avant le mardi 20 janvier, 10 h
Nom(s) :
Points obtenus (dans 4 questions avec un total de 20 points) :
1. (5 points) Trouvez, `a l’aide de la m´ethode des arbres, des mod`eles pour les propositions suivantes :
(a) “∃x∀y Rxy∧ ∃x∃y ¬Rxy”
(b) “∀x ¬Sxx∧ ∃x∃y∃z (Sxy∧Syx∧ ¬Sxz)”
(c) “∀x∃y Rxy∧ ∀x ¬Rxx∧ ¬∀x∀y(Rxy→Ryx)”
(d) “∀x∃y Rxy∧ ∀x ¬Rxx∧ ∃x∃y(Rxy∧ ¬Ryx)”
2. (6 points) D´et´erminez, `a l’aide de la m´ethode des arbres, si oui ou non les propositions suivantes sont valides :
(a) “∃x∀y Rxy→ ∀y∃x Rxy”
(b) “∀x F x→ ∃x F x”
(c) “¬∃y P y →(∀y (F y→ ∃xF x))”
(d) “∀x (F x→(Gx∧Hx))→ ∀x((F x∧Gx)→Hx)”
3. (6 points) V´erifiez, `a l’aide de la m´ethode des arbres, la validit´e des propositions suivantes.
Indiquez des structures dans lesquelles les converses de (b) et de (d) sont fausses.
(a) “∀x (F x∧Gx)↔(∀xF x∧ ∀xGx)”
(b) “(∀xF x∨ ∀xGx)→ ∀x(F x∨Gx)”
(c) “∃x (F x∨Gx)↔(∃xF x∨ ∃xGx)”
(d) “∃x(F x∧Gx)→(∃xF x∧ ∃xGx)”
4. (3 points) Soient les abr´eviations suivantes :
“p” pour “∀x∀y (Rxy→Ryx)” (“la relation R est symm´etrique”)
“q” pour “∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)” (“la relation R est transitive”)
“r” pour “∀x∀y (Rxy→Rxx)” (“la relation R est r´eflexive”)
“s” pour “∀x∃y(Rxy)” (“la relation R est ‘ouverte’”)
“t” pour “∀x∀y (Rxy→ ¬Ryx)” (“la relation R est anti-symm´etrique”) (a) Prouvez, par la m´ethode des arbres, la proposition suivante :
(p∧q)→r (1)
(b) Montrez qu’on ne peut pas, par la m´ethode des arbres, trouver un mod`ele pour la proposition suivante :
¬(q∧s∧t)→ ∃x∀y¬(Ryx)) (2) (c) Donnez un exemple d’une structure dans laquelle (2) est vraie.
