Exercices 10
Cours ďintroduction à la logique, semestre ďhiver 2005-2006 A rendre avant le lundi 23 janvier, 10 h
Nom(s):
Points obtenus (dans 2 questions avec un total de 20 points):
1. (14 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les séquents suivants : (a) “∀x(F x→ ¬Gx), ∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)”
(b) “∀x(Gx→ ¬F x), ∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)”
(c) “∀x(F x→Gx) ⊢ ∀x(F x) → ∀x(Gx)”
(d) “∀x(Gx→ ¬Hx), ∃x(F x∧Gx) ⊢ ∃x(F x∧ ¬Hx)”
(e) “∀x(Hx→Gx), ∃x(F x∧ ¬Gx) ⊢ ∃x(F x∧ ¬Hx)”
(f) “∀x(F x→Gx) ⊢ ∃x(F x) → ∃x(Gx)”
(g) “∀x(F x∧Gx) ⊢ ∀x(F x)∧ ∀x(Gx)”
(h) “∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ⊢ ∃x(F x∨Gx)”
(i) “∃x(F a→F x) ⊢ F a→ ∃x(F x)”
(j) “∃x(F x) →F a ⊢ ∀x(F x→F a)”
(k) “∃x∀y(Rxy) ⊢ ∀y∃x(Rxy)”
(l) “∃x∃y(Rxy) ⊢ ∃y∃x(Rxy)”
(m) “∀x(F x→Gx) ⊢ ∀x(∃y(F y∧Rxy)→ ∃y(Gy∧Rxy))”
(n) “∃x(F x∧Gx), ∃x(F x∧ ∀y(Gy → ¬Rxy)) ⊢ ∃x(F x∧ ¬∀y(F y →Rxy))”
2. (6 points) Dites si les applications suivantes des règles de déduction naturelle pour les quantificateurs sont correctes. Si elles ne le sont pas, dites pourquoi.
(a)
1 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∀x∃z(F xz∧Gxz) prémisse 2 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∃z(F aa∧Gaz) de (1) par (SU)
(b)
1 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∀x∃z(F xz∧Gxz) prémisse 2 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∃z(F az∧Gbz) de (1) par (SU)
(c)
1 F ba ⊢ F ba prémisse
2 F ba ⊢ ∃y(F by) de (1) par (GE)
(d)
1 ∃x(F xa) ⊢ ∃x(F xa) prémisse
2 ∃x(F xa) ⊢ ∃y∃x(F xx) de (1) par (GE)
(e)
1 F ab→ ∀x(Gax) ⊢ F ab→ ∀x(Gax) prémisse
2 F ab→ ∀x(Gax) ⊢ ∀y(F ay→ ∀x(Gax)) de (1) par (GU)
(f)
1 ∃x(F xa∧Gbx) ⊢ ∃x(F xa∧Gbx) prémisse
2 ∃x(F xa∧Gbx) ⊢ F ba∧Gbb de (1) par (SE)
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