Exercices 10
Cours d’introduction à la logique, semestre de printemps 2008 A rendre avant le vendredi 7 mars, 10 h
Nom(s):
Points obtenus (dans 4 questions avec un total de 20 points):
1. (2 points) Donnez des phrases en français dont les formules suivantes sont des formalisations : (a) “∀x(Dx→ ∀y((Cy∧F y)→Hxy ”
(b) “
))
∃x((Dx∧F x)→P ax ”
2. (3 points) A l’aide de la définition de validité, justifiez la vérité des propositions suivantes : (a) “
)
∀x(F x→Gx),∀x(Gx→ ¬Hx)| ∀= x(F x→ ¬Hx ” (b) “
)
∀x(F x→Gx)| ¬∃= x(F x∧ ¬Gx ” (c) “
)
∀x(F x→Gx),∃x(¬Gx)| ∃= x(¬F x ”
3. (10 points) Formalisez (supposez que le domaine de quantification est la totalité des êtres hu- mains):
(a) Suzie est
)
. (b) Sam est .
(c) Quelques sont . (d) Tout est . (e) Seuls les sont .
(f) Aucun n’est .
(g) Quelques ne sont pas . (h) Sam n’est pas .
(i) Suzie a tué Sam.
(j) Quelqu’un a tué Sam.
(k) Sam a tué quelqu’un.
(l) Quelqu’un a tué quelqu’un.
(m) Quelqu’un s’est tué.
(n) Personne ne s’est tué.
(o) Quelqu’un a tué tout le monde.
(p) Quelqu’un a été tué par tout le monde.
(q) Il y a un entre Sam et Suzie.
(r) Chaque douanier hait un coureur.[n’importe lequel]
(s) Quelques coureurs aiment chaque douanier.
(t) Il y a un coureur haï par tous les douaniers fous.
(u) Quelques n’ont la relation avec aucun .
(v) Quelques ont la relation seulement avec des qui ne sont pas . F
F
D F
D F
D F
H F
H F
F
S
C P F D
C P D F
4. (5 points) SoitL+une langue de la logique des prédicats avecI={0},J={0,1,2},K={0,1},
∏(0) = 2,µ(0) = 1,µ(1) =µ(2) = 2. Nous remplaçons les signes non-logiques par les suivants : . . . R0· · · ❀ . . .≤ · · ·
f0(. . .) ❀ −. . . f1(. . . ,· · ·) ❀ . . .+· · · f2(. . . ,· · ·) ❀ · · · × · · ·
c0 ❀ 0
c1 ❀
(a) Les expressions suivantes sont-elles des termes de 1
L ?
(i) “
+
” (ii) “
0 x1 ” (iii) “
+ 1 +x ” (iv) “
1
x1 ”
(v) “
×
x1× ”
(vi) “ ”
(b) Les expressions suivantes sont-elles des formules atomiques de (0 + 1)
2
L ? (i
+
) “
0 x1 ”
(ii
+ 1
) “
0 0 + 06 ” (iii
= 1
) “
0 (x1≤1)6 ”
(iv
= 1
) “
0 ∀x1(x1≤ ”
(v
(0 + 1))
) “
0 0 + 16= 0× ” (vi
1
) “
0 x1≤ ”
(c) Les expressions suivantes sont-elles des formules de 1
L ? (i
+
) “
00 ”
(ii 0
) “
00 x1+ 1≤x ”
(iii
1
) “
00 ∀x1(x1× ”
(iv
(0 + 1))
) “
00 1 + (x1× ” (v
(0 + 1))
) “
00 (1 + 1)∧(0≤ ” (vi
1)
) “
00 ∀x1(x1≤ ”
(d) Dans lesquelles des formules suivantes (0 + 1))
L+la variable “x ” a-t-elle une occurrence libre ? (i
1
) “
000 x1+ 1≤ ”
(ii
1
) “
000 ∀x1¬(x16 ”
(iii
= (0 + 1))
) “
000 ∃x2(1 + (x2×(0 + 1)≤x1 ” (iv
))
) “
000 ∀x1(0≤x1)∧((0≤1)∨16=x1 ”
(v
)
) “
000 ∀x1((0≤x1)→(16=x1 ”
(vi
))
) “
000 ∀x2∃x1¬(x2≤x1 ”
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