FORMES DIFFÉRENTIELLES INTEGRALES CURVILIGNES
Jean Paul TRUC
Professeur de Mathématiques Spéciales E.P.A
28 février 2012
1 Formes différentielles
1.1 Introduction
Les “déplacements élémentaires”, bien utiles en physique ou mécanique, pour écrire un travail élémentaire d’une force quand son point d’application se déplace d’une petite quantité dx”, ne sont certes pas très rigoureux. Nous allons ici donner auxdxi la même signification que dans l’écriture d’une différentielle. Cela nous permettra par exemple de mieux modéliser la notion de travail d’une force quand on déplace son point d’application le long d’une courbe, puis d’obtenir rigoureuse- ment des théorèmes puissants comme les formules de Green et de Stokes. Comme souvent un peu plus d’abstraction est le prix à payer pour un peu plus d’efficacité.
En particulier, à la fin de l’exposé, nous serons en mesure d’établir l’unicité de la solution d’un problème aux limites particulier pour l’équation∇2f = 0.
1.2 Définitions
Définition 1 On appelle forme différentielle définie sur l’ouvertΩdeRnune ap- plicationωdeΩdans le dual deRn.
C’est donc une application qui prend ses valeurs dans un espace de formes li- néaires. La différentielle que nous avons déjà rencontré va nous fournir un bon exemple.
1.3 Différentielle d’une fonction
Définition 2 Si f est de classe C1 sur l’ouvert Ω ⊂ Rn, à valeurs dansR, la différentielle def notéedfest définie par :
x∈Ω→dfx=
n
X
i=1
∂f
∂xi(x)dxi
C’est une forme différentielle sur l’ouvertΩ. En tant qu’application, elle s’écrit : df =
n
X
i=1
∂f
∂xidxi (1)
1.4 Ecriture d’une forme différentielle
On note toujoursdx1,...dxnla base duale de la base canonique{ei}deRn. On rappelle que :
dxi(X
j
xjej) =xj
Pour toutxde Ω,ω(x) va donc s’écrire dans cette base, avec des coefficientsai
qui dépendent du pointx= (x1,...,xn): Voici donc l’écriture générale d’une forme différentielle :
ω(x) =
n
X
i=1
ai(x1,...xn)dxi (2)
1.5 Forme différentielle de classeCk
Définition 3 La forme différentielleωest de classeCksur l’ouvertΩsi les fonc- tionsaisont de classeCksur l’ouvertΩ.
2 Formes différentielles exactes et fermées
2.1 Formes exactes
Définition 4 La forme différentielleω de classeC0 sur l’ouvertΩest exacte s’il existe une fonctionf de classeC1 sur l’ouvertΩtelle queω =df. La fonctionf est une primitive de la formeω.
Reconnaître si une forme différentielle est exacte est un problème analogue à celui de savoir reconnaître si un champ de vecteurs est un gradient. On a donc les mêmes résultats :
2.2 Comment reconnaître une forme différentielle exacte Examinons le cas de la dimension deux tout d’abord :
Théorème 1 Soit P et Q deux fonctions de classe C1 sur l’ouvert simplement connexeΩdeR2, alors la forme différentielle définie par
∀(x,y)∈Ω : ω(x,y) =P(x,y)dx+Q(x,y)dy est exacte si et seulement si :
∀(x,y)∈Ω : ∂P
∂y(x,y) = ∂Q
∂x(x,y) (3)
La condition (3) est toujours nécessaire mais c’est la réciproque qui nécessite que l’ouvert soit simplement connexe c’est à dire sans trou et d’un seul morceau. Le résultat précédent existe aussi en dimension trois :
Théorème 2 SoitP,QetRtrois fonctions de classeC1sur l’ouvert simplement connexeΩdeR3, alors la forme différentielle définie par
∀(x,y,z)∈Ω : ω(x,y,z) =P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz est exacte si et seulement∀(x,y,z)∈Ω :
∂R
∂y(x,y,z) = ∂Q
∂z(x,y,z) (4)
∂P
∂z(x,y,z) = ∂R
∂x(x,y,z) (5)
∂Q
∂x(x,y,z) = ∂P
∂y(x,y,z) (6)
Plus généralement le résultat reste valable en dimensionnet porte souvent le nom du mathématicien Français Henri Poincaré (né le 29 Avril 1854 à Nancy et mort le 17 Juillet 1912 à Paris).
2.3 Formes différentielles fermées Une forme différentielleω=P
iaidxitelle que :
∀(i,j) : ∂ai
∂xj
= ∂aj
∂xi
est dite fermée. Le résultat de Poincaré dit qu’une forme fermée sur un ouvertΩ simplement connexe deRnest exacte. En particulier ceci est vrai si l’ouvert deRn est étoilé par rapport à un de ses pointsA, c’est à dire si pour tout pointM ∈Ω, le segmentAM est dansΩ.
2.4 Exemple
Reconnaître si la forme2y2(x+y)dx+ 2xy(x+ 3y)dyest exacte et trouver éventuellement sa primitive.
2.5 Facteur intégrant
Si la formeωn’est pas exacte mais que la formeg(x1,...,xn)ωl’est , on dit que gest un facteur intégrant deω.
2.6 Exemple
Considérons la forme :
ω= 2xzdx−2yzdy−(x2−y2)dz
Seul le test Ay = Bx est vérifié. On peut alors essayer de chercher un facteur intégrant de la formef(z)avecf R→Rpour cette forme (exercice).
FIG. 1 –Henri Poincaré.
3 Intégrale curviligne d’une forme différentielle
3.1 Exemples et définitions
{ei}désigne la base canonique deRn.
Définition 5 On considère une forme différentielle continue définie sur l’ouvert Ω⊂Rnpar:
∀x∈Ω :ω(x) =
n
X
i=1
ai(x1,...xn)dxi
On considère une courbe paramétrée(C)de classeC1tracée dans l’ouvertΩ, de paramétrage:
t∈[a,b]−→−−→
OM(t) =X
i
xi(t)~ei
On appelle intégrale curviligne de la formeωsur la courbe(C)la quantité Z
(C)
ω définie par:
Z
(C)
ω= Z b
a
ω(M(t))−−→
dM dt
dt=
Z b
a n
X
i=1
ai(x1(t),...xn(t))x0i(t)dt
Au pointM(t)on applique la forme au vecteur tangent à la courbe et on intègre.
Remarques
– Cette définition s’étend sans difficultés au cas d’une courbe de classeC1par morceaux ; en effet(C)est alors la réunion d’un nombre finiN d’arcs(Cj) de classeC1et on pose:
Z
(C)
ω=
N
X
j=1
Z
(Cj)
ω.
– Dans le cas simple oùn= 2et oùω=P dx+Q dy, on a:
Z
(C)
P dx+Q dy= Z b
a
P(x(t),y(t))x0(t) +Q(x(t),y(t))y0(t)dt.
(7) 3.2 Propriétés de l’intégrale curviligne
Proposition 1 L’intégrale curviligne de la formeωsur la courbeCest indépen- dante du paramétrage choisi sur la courbe(C), à condition de conserver la même orientation de la courbe.
Démonstration
Plaçons nous dans R2 pour simplifier les calculs: Si(C) =AB_ est la courbe orientée par le paramétrage
t∈[a,b] −→−−→
OM(t) qui s’écrit :(C+)est paramétrée par:
t−→(x(t),y(t))
Un autre paramétrage compatible avec cette orientation s’écrira : u−→(x1(u),y1(u)) = (x(φ(u)),y(φ(u)))
oùφest unC1difféomorphisme strictement croissant d’un intervalleJ = [c,d]sur [a,b]. Calculons l’intégrale curviligne pour le premier paramétrage :
Z
(C)
P dx+Q dy= Z b
a
P(x(t),y(t))x0(t) +Q(x(t),y(t))y0(t)dt Effectuons le changement de variablet=φ(u):
Z
(C)
P dx+Q dy= Z d
c
P(x(φ(u)),y(φ(u)))x0(φ(u))φ0(u)+Q(x(φ(u)),y(φ(u)))y0(φ(u))φ0(u) du On reconnaît :
Z
(C−)
P dx+Q dy= Z d
c
P(x1(u),y1(u))(x01(u)) +Q(x1(u),y1(u))y10(u) du qui est l’intégrale curviligne pour le deuxième paramétrage..
Proposition 2 Si on change l’orientation de la courbe(C), l’intégrale curviligne de la formeωchange de signe, ce que l’on peut représenter par l’égalité:
Z
(C−)
ω =− Z
(C+)
ω
Démonstration
Si(C+) =AB_ est la courbe orientée par le paramétrage t∈[a,b] −→−−→
OM(t) alors(C−) =BA_ est la courbe orientée par le paramétrage
t∈[a,b] −→−−→
OM((a+b)−t)
On noteφ(t) =a+b−t=ule changement de paramétrage. Plaçons nous dans R2pour simplifier les calculs:(C+)est paramétrée par:
t−→(x1(t),y1(t)) (C−)est paramétrée par:
t−→(x2(t),y2(t)) = (x1(u),y1(u)) On calcule par un simple changement de variable que:
Z
(C−)
P dx+Q dy= Z b
a
P(x2(t),y2(t))x02(t) +Q(x2(t),y2(t))y20(t)dt Z
(C−)
P dx+Q dy= Z a
b
P(x1(u),y1(u))(−x01(u))+Q(x1(u),y1(u))(−y10(u) (−du) Z
(C−)
P dx+Q dy=− Z b
a
P(x1(u),y1(u))x01(u) +Q(x1(u),y1(u))y01(u)du Z
(C−)
P dx+Q dy=− Z
(C+)
P dx+Q dy .
Proposition 3 (Relation de Chasles) SiDest un point de la courbe(C) =
_
AB, on a l’égalité :
Z
(
_
AB)
ω= Z
(
_
AD)
ω+ Z
(
_
DB)
ω
La démonstration se ramène à la relation de Chasles classique moyennant le choix d’un paramétrage.
3.3 Cas d’une forme différentielle exacte
Proposition 4 Siωest une forme différentielle exacte sur l’ouvertΩet sifest une primitive deω(i-eω=df), alors pour toute courbe de classeC1(
_
AB)d’origine Aet d’extremitéBtracée dansΩon a :
Z
(AB)_
ω =f(B)−f(A)
Preuve :
La formeω=df s’écrit : ω=
n
X
i=1
∂f
∂xi
(x)dxi
Sit → (x1(t), . . . ,xn(t)) est un paramétrage de
_
AB), son intégrale curviligne vaut :
Z
(AB)_
df = Z b
a n
X
i=1
∂f
∂xi
(x1(t), . . . ,xn(t))x0i(t)dt ce qui d’après le théorème des dérivations composées est :
Z
(
_
AB)
df = Z b
a
d
dtf(x1(t), . . . ,xn(t))dt=h
f(x1(t), . . . ,xn(t))ib a
ou encore : Z
(AB)_
ω =f(B)−f(A) .
Corollaire 5 Si ω est une forme différentielle exacte sur l’ouvert Ω alors pour toute courbe(C)ferméede classeC1 tracée dansΩon a :
Z
C
ω= 0 On note parfois
I
C
ωune intégrale curviligne sur un contour fermé.
3.4 Un contre exemple classique La forme différentielle :
ω= xdy−ydx x2+y2
vérifie le test Ay −Bx = 0 du théorème 1, toutefois elle est définie sur U = R2− {(0,0)}qui n’est pas simplement connexe. Si(C)désigne le cercle trigono- métrique on calcule facilement que :
I
C
ω = 2π.
En effet le cercle est paramétré parx = cost, y = sint, avec0 ≤t ≤ 2π. On a donc sur le cerclex2+y2= 1et :
I
C
ω= Z 2π
0
costcost−(−sint) sint dt= 2π.
Ce qui prouve que la forme n’est pas exacte surU. Par contre en introduisant une coupure et en considérant l’ouvertV =R+∗×R, on voit que surV on a :ω =df avec :
f(x,y) = arctany x
4 Circulation d’un champ de vecteurs
4.1 Exemples et définitions
{~ei}désigne la base canonique deRn.
Définition 6 On considère un champ de vecteurs continu définie sur l’ouvertΩ⊂ Rnpar:
∀x∈Ω :−→ V(x) =
n
X
i=1
ai(x1,...xn)~ei
On considère une courbe paramétrée(C)de classeC1tracée dans l’ouvertΩ, de paramétrage:
t∈[a,b]−→−−→
OM(t) =X
i
xi(t)~ei
On appelle circulation du champ sur la courbeC la quantité Z
(C)
−
→V .−−→ dM définie par:
Z
(C)
−
→V .−−→ dM =
Z b a
−−−→V(M)(t).
−−→
dM dt
dt=
Z b a
n
X
i=1
ai(x1(t), . . . ,xn(t))x0i(t)dt
Remarques
– Le . désigne le produit scalaire usuel deRn.
– Cette définition s’étend sans difficultés au cas d’une courbe de classeC1par morceaux; en effet(C)est alors la réunion d’un nombre finiN d’arcs(Cj) de classeC1et on pose:
Z
(C)
−
→V .−−→ dM =
N
X
j=1
Z
(Cj)
−
→V .−−→ dM. – Dans le cas simple oùn= 2et où−→
V =P ~i+Q~j, on a:
Z
(C)
−
→V .−−→ dM =
Z b a
P(x(t),y(t))x0(t) +Q(x(t),y(t))y0(t)dt
4.2 Propriétés de la circulation
Elles sont analogues à celles de l’intégrale curviligne. Nous les résumons ici:
1. La circulation est indépendante du paramétrage choisi, à condition de res- pecter l’orientation de la courbe.
2. Si on change l’orientation, la circulation change de signe : Z
(BA)_
−
→V .−−→ dM =−
Z
(AB)_
3. La relation de Chasle est vérifiée : Z
(AB)_
−
→V .−−→ dM =
Z
(AD)_
−
→V .−−→ dM +
Z
(DB)_
−
→V .−−→ dM
4.3 Circulation d’un champ de gradient Théorème 3 Si−→
V est un champ de gradient sur l’ouvertΩet sifest une primitive deω (i.e.−→
V = −→
∇f), alors pour toute courbe de classeC1 (
_
AB) d’origineAet d’extremitéB tracée dansΩon a :
Z
(AB)_
−
→V(M)−−→
dM =f(B)−f(A)
Remarquons que si le champ−→
V est interprété comme un champ de force−→ F, alors la circulation de ce champ sur la courbe orientée(
_
AB)d’origineAet d’extremité Bcorrespond au travail fourni en déplaçant un point matériel de massem= 1. Le théorème 3 nous dit alors que si la force dérive d’un potentiel (i.e.−→
F = −−−→
∇U), alors le travail fourni est égal à la variation d’énergie potentielleU(A)−U(B).
Preuve :
Elle est analogue à celle de l’intégrale curviligne d’une forme exacte.
Corollaire 6 Si−→
V est un champ de gradient sur l’ouvertΩalors pour toute courbe (C)ferméede classeC1tracée dansΩon a :
Z
C
−
→V(M)−−→ dM = 0
On note parfois I
C
−
→V(M)−−→
dM la circulation d’un champ sur un contour fermé.
5 La formule de Green
5.1 Orientation de la frontière d’un compact deR2
Considérons un compact connexe (en un seul morceau )Kdont la frontière(C) soit une réunion finie d’arcs simples de classeC1; nous conviendrons d’orienter la frontière deK de telle façon qu’en parcourant la frontière l’intérieur du compact se trouve à gauche de la courbe. On remarquera que dans le cas oùKprésente des
"trous", le bord des trous est orienté dans le sens des aiguilles d’une montre, alors que le bord extérieur deKest orientée en sens inverse (cf. figure 3).
5.2 Le théorème de Green
Ce résultat est l’oeuvre du mathématicien Anglais George Green ( né en 1793 à Sneinton dans le Nottinghamshire, décédé en 1841). Il est le premier à essayer de fonder une théorie de l’electromagnétisme, dans “An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism ”(Nottingham, 1828). Le père de George Green possédait un moulin ( cf. photo figure 2) et une mi- noterie près de Nottingham. Green publia son essai de 1828 à compte d’auteur et il eut une cinquantaine de souscriptions seulement. L’un de ces lecteurs reconnut son talent et le mit en rapport avec des collègues de Cambridge où il étudia quelque
temps. Mais à son décés son travail était encore méconnu comme le prouve sa notice nécrologique : “In our obituary of last week, the death of Mr Green was an- nounced; we believe he was the son of a miller, residing near to Nottingham but having a taste for study, he applied his gifted mind to the science of mathematics, in which he made rapid progress. In Sir Edward Ffrench Bromhead, Bart., he found a warm friend, and to his influence he owed much, while studying at Cambridge. Had his life been prolonged he might have stood eminently high as a mathematician.”
FIG. 2 –Le moulin de Green.
Théorème 4 On considère une forme différentielle continue définie par
∀(x,y)∈Ω : ω(x,y) =P(x,y)dx+Q(x,y)dy
et un compactK ⊂ Ωdont la frontière (C) soit de classe C1 par morceaux et orientée selon la règle ci dessus, alors:
Z
(C)
P(x,y)dx+Q(x,y)dy= Z Z
K
∂Q
∂x −∂P
∂y
dxdy.
(8) La figure suivante représente un compactKavec sa frontière orientée convenable- ment.
Démonstration
Supposons queKqu’il existe deux fonctionsφetψde classeC1, définies sur un intervalle[a,b]telles que l’on aît:
K={(x,y)∈R2 : a≤x≤b , φ(x)≤y≤ψ(x)} (9)
FIG. 3 –Orientation du bord d’un compact La frontière ABCD deKest alors constituée
– de l’arc
_
ABd’équationy=φ(x)
– du segment vertical BC orienté vers le haut – de l’arcDC_ d’équationy=ψ(x)
– du segment vertical DA orienté vers le bas
FIG. 4 –
toutefois dans cette description, l’arc DC_ est orienté dans le sens opposé à ce qu’exige notre règle et il faudra en tenir compte dans les calculs! On calcule alors
Z
(C)
P(x,y)dx= Z b
a
P(x,φ(x))dx− Z b
a
P(x,ψ(x))dx
car les intégrales curvilignes dedxsur les segments verticaux sont nulles puisque xest constant dans les paramétrages de BC et DA.
Z
(C)
P(x,y)dx= Z b
a
P(x,φ(x))dx−P(x,ψ(x))dx=− Z b
a
Z ψ(x) φ(x)
∂P
∂y(x,y)dy dx On reconnaît l’expression par le théorème de Fubini d’une intégrale double:
Z
(C)
P(x,y)dx=− Z Z
K
∂P
∂y(x,y)dxdy (10)
Une technique analogue appliqué à un compactK admettant une description du type:
K ={(x,y)∈R2 : c≤x≤d , φ(y)≤x≤ψ(y)} (11) permet de prouver que :
Z
(C)
Q(x,y)dy= Z Z
K
∂Q
∂x(x,y)dxdy (12)
Par conséquent, nous avons démontré la formule de Green pour un compactKdont la frontière(C)admet simultanément les deux types de représentation vus précé- demment, comme par exemple celui de la figure 5. La création d’un ou plusieurs
FIG. 5 –
trous (de la forme spécifiée ci dessus ) dans ce compact ne pose pas de problèmes si on suppose que la forme est encore définie à l’intérieur du trou, puiqu’alors, en désignant parK1le compact limité par le trou et sa frontièreγ1orientée par rapport àK1, et parγ0le bord extérieur deK, on a:
Z Z
K∪K1
∂Q
∂x−∂P
∂y
dxdy= Z Z
K
∂Q
∂x−∂P
∂y
dxdy+
Z Z
K1
∂Q
∂x−∂P
∂y
dxdy Z
(γ0)
P(x,y)dx+Q(x,y)dy= Z Z
K
∂Q
∂x−∂P
∂y
dxdy+
Z
(γ1)
P(x,y)dx+Q(x,y)dy d’où la formule de Green pour un compact à trou.
5.3 Extension de la validité de la formule
Considérons un compactK comme celui de la figure 6, connexe dont la fron- tière rencontre une parallèle àOy en au plus un nombrep ∈ N∗ (fixé) de points.
Par découpage, ce compact se d´compose en une réunion deN compactsKid’inté- rieurs disjoints admettant chacun une description du type (9). La formule (10) est vraie sur chacun desKi, de frontière orientée(γi). On a donc :
Z
K
∂P
∂y(x,y)dxdy =
N
X
1
Z
Ki
∂P
∂y(x,y)dxdy=− Z
(γi)
P(x,y)dx ou encore :
Z
K
∂P
∂y(x,y)dxdy =
N
X
1
Z
(γi)
P(x,y)dx
Mais les portions de courbe communes à deux frontières(γi)et(γj)de deux com- pactsKietKj voisins sont parcourues deux fois ( une dans chaque sens), et donc leurs contributions respectives à l’intégrale curviligne s’annulent. Il ne reste finale- ment que l’intégrale curviligne sur la frontière(C)deK et on a prouvé (10) pour le compact K. En considérant ensuite un compact K connexe dont la frontière rencontre une parallèle àOx en au plus un nombrep ∈ N∗ (fixé) de points, on montrerait que la formule (12) reste encore valable. On a donc prouvé la formule de Green pour un compact connexe à trous dont la frontière rencontre une parallèle àOxou àOyen au plus un nombrep∈N∗de points.
FIG. 6 –
6 Application au calcul d’une aire plane
Le plan est rapporté à un repère orthonorméOxy.
6.1 Coordonnées cartésiennesx,y
Grâce à la formule (4) le calcul d’une aire peut s’effectuer avec une intégrale simple au lieu d’une intégrale double :
Proposition 7 Considérons un compact quarrableK ⊂R2 dont la frontière(C) soit de classe C1 par morceaux et orientée selon la convention du théorème 4.
Alors on peut calculer l’aireAdeKau moyen de l’une des intégrales curvilignes suivantes :
A= 1 2
I
(C)
xdy−ydx= I
(C)
xdy=− I
(C)
ydx (13)
La preuve est immédiate car la formule de Green donne : 1
2 I
(C)
xdy−ydx= Z Z
K
dxdy =A .
6.2 Coordonnées polairesr,θ
Proposition 8 Considérons une partie quarrable D ⊂ R2 (cf. figure 7) dont la frontière(C)soit constituée de deux droites issues de l’origine, d’angle polaireθ1 etθ2, et d’une courbe d’équation en coordonnées polairer =r(θ). Alors on peut calculer l’aireAdeDau moyen de l’ intégrale suivante :
A= 1 2
Z θ2
θ1
r(θ)2dθ (14)
FIG. 7 –Le domaineD.
7 D’autres applications de la formule de Green-Riemann
Dans cette partie nous démontrons en dimension deux quelques formules qui peuvent être utiles pour l’étude des équations aux dérivées partielles et donc des fonctions harmoniques.
7.1 Dérivée normale et intégrale de chemin
Considérons un chemin de classe C1 d’extrémités A et B: (γ). D’après le cours de géométrie différentielle, il peut être paramétré par l’abscisse curvilignes (c’est tout simplement une façon régulière de parcourir le chemin avec une vitesse égale à 1 en module). Nous noterons M(s) = (x(s),y(s))ce paramétrage. Le vecteur tangentT~ =
−−→dM
ds = (x0(s),y0(s))est donc un vecteur unitaire et donc le vecteur~n= (y0(s),−x0(s))est un vecteur normal unitaire. Supposons queA=B, c’est à dire que γ soit un contour fermé, frontière d’un compact K. Choisissons l’abscissesde telle manière qu’elle soit compatible avec l’orientation exigée par la formule de Green. On voit alors que le vecteurN~ directement orthogonal àT~ est dans l’intérieur du contour ; orN~ = −~n, donc le vecteur~nest un champ de vecteur unitaire normal dirigé vers l’extérieur, de composantesC1.
Définition 7 Si f est une fonction de classe C1 sur un ouvert contenant K, on notera ∂f
∂n(s)la dérivée normale def au pointM(s)du bord(γ):
∂f
∂n =dfM(s)(~n) = ∂f
∂x(x(s),y(s))y0(s)−∂f
∂y(x(s),y(s))x0(s) =nablaf~ (M(s)).~n.
(le dernier.est un produit scalaire).
Siφest une fonction continue de(γ)1dansR, on notera : Z
(γ)
φ ds= Z L
s=0
φ(M(s))ds.
oùLest la longueur totale de l’arc(γ).
7.2 La formule d’Ostrogradsky
Il s’agit d’une autre façon d’énoncer la formule de Grenn, en termes de champ de vecteur. Soit~v =P~i+Q~jun champ de vecteurC1 sur un ouvert contenant le compact de frontière orientée(γ)comme ci-dessus. Nous calculons :
Z
(γ)
~
v.~nds = Z
(γ)
P(x(s),y(s))y0(s)−Q(x(s),y(s))x0(s)ds
= Z
(γ)
−Qdx+P dy
= Z Z
K
∂P
∂x − ∂(−Q)
∂y dxdy
= Z Z
K
∇.~~ vdxdy
= Z Z
K
div~vdxdy.
1. muni de la topologie induite par celle deR2.
D’où la formule :
Z
(γ)
~
v.~n ds= Z Z
K
∇.~~ v dxdy= Z Z
K
div~v dxdy.
(15) 7.3 Deux autres formules de Green
Soit alorsf de classeC2 sur un ouvert contenantK; calculons l’intégrale de chemin
Z
(γ)
∂f
∂ndsen utilisant la formule de Green : Z
(γ)
∂f
∂nds = Z
(γ)
∂f
∂x(x(s),y(s))y0(s)−∂f
∂y(x(s),y(s))x0(s)ds
= Z
(γ)
∂f
∂ydx−∂f
∂xdy
= Z Z
K
∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2dxdy.
Nous avons donc prouvé que :
Z
(γ)
∂f
∂nds= Z Z
K
∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2dxdy= Z Z
K
∇2f dxdy.
(16) Pour deux fonctionsf etgde classeC2 sur un ouvert contenantK, calculons de la même manière l’intégrale de chemin
Z
(γ)
f∂g
∂nds: Z
(γ)
f∂g
∂nds = Z
(γ)
f(M(s))∂g
∂x(x(s),y(s))y0(s)−f(M(s))∂g
∂y(x(s),y(s))x0(s)ds
= Z
(γ)
f∂g
∂ydx−f∂g
∂xdy
= Z Z
K
f∂2g
∂x2 +∂2g
∂y2
+∂ f
∂x
∂g
∂x +∂f
∂y
∂g
∂y dxdy
= Z Z
K
f∇2g+∇f. ~~ ∇g dxdy.
Nous avons donc prouvé que :
Z
(γ)
f∂g
∂nds= Z Z
K
f∇2g+∇f. ~~ ∇g dxdy.
(17) 7.4 Application aux fonctions harmoniques, solutions de l’équation de
Poisson-Laplace
Considérons une fonction harmonique sur un ouvertΩcontenantK, alors on déduit immédiatement de la formule (7.3) les résultats suivants
Théorème 5 Sif est harmonique sur l’ouvertΩ, alors pour tout contour simple fermé de classeC1inclus dansΩ, on a :
Z
(γ)
∂f
∂nds= 0.
Intéressons nous maintenant à l’unicité de la solution de∇2f =h.
Théorème 6 Soientfetgdeux solutions de classeC2de l’équation∇2f =hsur l’ouvert connexeU. On suppose que la frontière de U est un contour(γ) simple fermé de classe C1, inclus dans un ouvertΩoùf et gsont encoreC2. Si f etg coïncident sur le contour(γ), alorsf =gsurU.
Preuve
On prouve d’abord le lemme suivant :
Lemme 1 Soientfune fonction harmonique à l’intérieur d’un compactKde fron- tière(γ)(comme indique pour la validité de la formule (??), alors on a :
Z Z
K
k∇fk2dxdy = Z
(γ)
f∂f
∂nds.
Preuve du lemme
On applique la formule (7.3) avecf =gen tenant compte de∇2f = 0et on obtient le résultat.
Preuve du théorème
La fonctionC2f −gest harmonique surU car∇2(f−g) = ∇2f − ∇2g = h−h= 0. On lui applique la formule du lemme :
Z Z
K
k∇(f −g)k2dxdy = Z
(γ)
(f −h)∂(f−g)
∂n ds.= Z
(γ)
0ds= 0.
Donc on a∇(f −g) = 0sur l’ouvert connexe (par arcs)U, ce qui entraîne que f−g= 0surU.
8 Exercices - Première série
Exercice 1
L’espace est rapporté à un repèreOxyz. Soit(C)la courbe paramétréex=t, y=t2,z=t3,t∈[−1,1]et−→
V le champ défini surR3par :
−
→V(M) =yz~i+xz~j+xy~k
Calculer la circulation du champs sur la courbe(C).
Exercice 2 (Mécanique du point matériel).
Un point matérielM de massemest soumis à un champ de force dérivant d’un potentiel−→
F = −−→
∇U. Il se déplace deAàB sur une courbe régulière(C)entre les instantsaetb. On définit le travail de la force lors de ce déplacement par :
W = Z
(C)
−
→F(M)−−→ dM
1. Montrer queW est égal à la variation de l’énergie cinétique entre les instants aetb.
2. Montrer que l’énergie totale
E = 1
2mv2+U se conserve au cours du mouvement.
Exercice 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormé Oxy. a est un réel strictement positif. Déterminer l’aire de la partie située à l’intérieur du Lemniscate de Bernoulli d’équation polairer2 =a2cos(2θ).
Exercice 4
Le plan est rapporté à un repère orthonormé Oxy. a est un réel strictement positif. Déterminer l’aire de la partie située à l’intérieur de la boucle du Folium de Descartes (cf. figure 8)dont une représentation paramétrique est :
x= 3at
1 +t3 y= 3at2 1 +t3 avectvariant dans]− ∞,−1[∪]−1,+∞[.
FIG. 8 –Le Folium de Descartes.
Exercice 5
On considère la forme différentielle :
ω= (x+y)dx+ (x−y)dy.
– Est-elle fermée ? exacte ? Si oui déterminer une primitive.
– Résoudre l’équation différentielle :
x+y(x) + (x−y(x))y0(x) = 0.
9 Exercices - Deuxième série
Exercice 1
L’espace est rapporté à un repèreOxyz. Soit(C) le cercle de centreO et de rayon 3 dans le planOxy, et−→
V le champ défini surR3par :
−
→V(M) = (2x−y+z)~i+ (x+y−z2)~j+ (3x−2y+ 4z)~k Calculer la circulation du champ sur le cercle(C).
Exercice 2
Est ce que les formes différentielles :
ω = 2y2(x+y)dx+ 2xy(x+ 3y)dy u = (3x2+ 3y)dx+ 3xdy
sont exactes ? Si oui trouver une primitive.
Exercice 3
L’espace est rapporté à un repèreOxyz. Soit (C) la courbe paramétréex = cos(t),y= sin(t),z=t,t∈[0,2π]et−→
V le champ défini surR3privé de l’origine par :
−
→V(M) = kx
x2+y2+z2~i+ ky
x2+y2+z2~j+ kz x2+y2+z2~k Calculer la circulation du champ sur la courbe(C).
Exercice 4
Le plan est rapporté à un repère orthonorméOxy.aest un réel strictement po- sitif. Déterminer l’aire de la partie située à l’intérieur de la courbe(C)d’équation polairer = 2 + cos(3θ). (Voir figure 9).
Exercice 5
Cet exercice traite du calcul de l’intégrale semi convergenteJ = Z +∞
0
sinx x dx par la formule de Green. On considère la forme différentielle :
ω= e−y x2+y2
(xsinx−ycosx)dx+ (xcosx+ysinx)dy
On considère le contour(C)de la figure 10, formé de deux segmentsCDetABet de deux demi-cercles(C1)et(C2)concentriques. Le petit cercle(C1)a pour rayon
1
net le grandn(n∈N∗.) Le contour est parcouru dans le sens trigonométrique.
– Cette forme est-elle fermée ? exacte surC? exacte surC∗? exacte surCprivé de la demi droitex= 0, y≤0?
FIG. 9 –Courbe d’équationr= 2 + cos(3θ).
C D A B
FIG. 10 –Le contour.
– Calculer I
(C)
ω.
– Calculer Z
CD
ω+ Z
ABD
ω.
– Montrer que I
(C2)
ω= 2 Z π/2
0
e−nsintcos(ncost).dt.
– Montrer la majoration : Z
(C2)
ω ≤2
Z 1 0
e−nu
√
1−u2du.
– En déduire la valeur deJ par un passage à la limite soigneusement justifié.
Exercice 6
On considère le plan Oxy comme plongé dans R3 muni d’un repère ortho- norméOxyz. On note~kle vecteur unitaire de l’axeOz. On se donne un champ
~v =P~i+Q~jde classeC1sur l’ouvertU. SoitK un compact,K ⊂U, de fron- tière (C), orienté selon la règle de la formule de Green. Montrer que le flux du rotationnel de~và travers la surface planeKest égal à la circulation de~vsur(C):
Z Z
K
(∇ ∧~ ~v).~k dxdy= I
(C)
~v−−→ dM .
10 Correction des exercices - Première série
Exercice 1
La circulation est nulle car elle vaut Z 1
−1
t6dt.
Exercice 2
Quand le point matériel se déplace de Aà B le travail de la force est égal à la variation de l’énergie cinétique, en effet d’après le principe fondamendal de la mécanique de Newton, on a :−→
F(M) =m−→ Γ, où−→
Γ =
−−−→d2M
dt2 est l’accélération. On a donc :
W = m
Z
(C)
−−−→d2M dt2
−−→ dM
= m
Z b a
−−−→d2M dt2 .
−−−→d2M dt2 dt
= m
Z b a
x00(t)x0(t) +y00(t)y0(t) +z00(t)z0(t)dt
= h1
2m(x0(t)2+y0(t)2+z0(t)2) ib
a
= 1
2mv2b −1 2mva2
en notantvala norme du vecteur vitesse à l’instanta.
W = Z
(
_
AB)
−
→F(M)−−→ dM = 1
2mvB2 −1 2mvA2 Mais on a aussi d’après le théorème 3 :
W =−(U(B)−U(A) d’où :
E = 1
2mvB2 +U(B) = 1
2mvA2 +U(A)
et l’énergie se conserve au cours du mouvement. (en notant cette foisvAla norme du vecteur vitesse quand le mobile est enA).
Exercice 3
L’aire de la partie située à l’intérieur du Lemniscate de bernoulli d’équation polairer2 =a2cos(2θ)vaut
A= 21 2
Z π4
−π
4
a2cos(2θ)dθ=a2
Exercice 5
On considère la forme différentielle :
ω= (x+y)dx+ (x−y)dy.
On calcule :
∂(x−y)
∂x = ∂(x+y)
∂y = 1.
Donc la forme est fermée et comme elle est définie sur R2 qui est simplement connexe, elle est exacte. Soit le système :
{fx0 = x+yfy0 = x−y On intègre la première équation enx:
f(x,y) = x2
2 +xy+φ(y).
On redérive en y et on identifie avec la deuxième : φ0(y) = −y, d’où φ(y) =
−y2
2 +C.finalement, on obtient la primitive : f(x,y) = x2−y2
2 +xy.
y est solution de l’équa. diff. si et seulement si f(x,y(x)) = Cte, ce qui nous donne l’équation des courbes intégrales :
x2−y2+ 2xy=C.
On reconnait une famille d’hyperboles. En résolvant cette équation enyon pourrait obtenir explicitement les solutionsy(x), mais quel intérêt ?
11 Correction des exercices - Deuxième série
Exercice 1
La circulation du champs sur le cercle (C) vaut 18π. (paramétrer par x = 3 cost y= 3 sint.
Exercice 2
Les deux formes sont exactes car elles sont définies sur un ouvert simplement connexe :R2et elles vérifient le testAy−Bx= 0. On a :
ω = df u = dg
avec respectivement :
f(x,y) = x2y2+ 2xy3+Cte g(x,y) = x3+ 3xy+Cte
Exercice 3
La courbe est une hélice circulaire. La circulation vaut : Z 2π
0
kt
1 +t2dt= k
2ln(1 + 4π2) Exercice 4
L’aire de la partie située à l’intérieur de la courbe(C)d’équation polairer = 2 + cos(3θ)est donnée par :
A= 1 2
Z 2π 0
(4 + cos2(3θ) + 4 cos(3θ))dθ = 9π 2 Exercice 5
On vérifie que la forme est fermée par un calcul bourrin (désolé !). Le tout est de savoir sur quoi elle est exacte ? elle est définie surC∗mais il n’est pas simplement connexe...Par contre ça marche surCprivé deOy−car il est simplement connexe.
Elle admet donc une primitiveF surU = C−Oy−. Comme le contour(C) est inclus dansU, on aura :
I
(C)
ω=F(A)−F(A) = 0.
Les arcsCDetABsont paramétrés parx →M(x,0)respectivement sur[−n,− 1/n]et[1/n,n]. Avec ce paramétragey= 0, dy= 0, donc :
Z
CD
ω+ Z
ABD
ω=
Z −1/n
−n
sinx x dx+
Z /n 1/n
sinx x dx= 2
Z /n 1/n
sinx x dx.
Calculons maintenant l’intégrale curviligne sur le demi grand cercle (C2). Il est paramétré parx=ncost, y =nsint, avect∈[0,π]. On remarque quex0 =−y ety0 =x, ce qui donne :
Z
(C2)
ω = 1 n2
Z π 0
e−y(xsinx−ycosx)(−y) + (xcosx+ysinx)x dt
= 1
n2 Z π
0
(x2+y2)e−ycosx dt
= Z π
0
e−ycosx dt
= Z π
0
e−nsintcos(ncost)dt
=
Z π/2 0
e−nsintcos(ncost)dt+ Z π
π/2
e−nsintcos(ncost)dt
= 2 Z π/2
0
e−nsintcos(ncost)dt
grâce au changementu =π−tdans la deuxième intégrale. passons maintenant à la majoration demandée. Le changement de variableu= sintconduit à :
Z
(C2)
ω= 2 Z 1
0
e−nucos(n√ 1−u2)
√
1−u2 du et par conséquent :
Z
(C2)
ω ≤= 2
Z 1 0
e−nu
√
1−u2du.
Nous poserons :
In= Z 1
0
e−nu
√
1−u2du.
L’intégrant converge simplement vers zéro sur]0,1]et d’autre part on a la majora- tion, pour toutnet toutu:
0≤ e−nu
√
1−u2 ≤ 1
√
1−u2 =φ(u).
La fonctionφest intégrable sur]0,1]; d’après le théorème de convergence dominée on a donc :
n→∞lim In= 0
ce qui entraîne que :
n→∞lim Z
(C2)
ω= 0.
Il faut maintenant calculer l’intégrale sur le petit demi-cercle(C1). C’est exacte- ment le même calcul que pour(C2)avec1/nau lieu denet aussi un signe - car le demi-cercle est parcouru dans le mauvais sens cette fois. On va donc trouver :
Z
(C1)
ω=−2 Z 1
0
e−u/ncos(√
1−u2)/n
√
1−u2 du.
Cette fois l’intégrand converge simplement vers 1
√1−u2 et la convergence est dominée. Par conséquent :
n→∞lim Z
(C2)
ω=−2 Z 1
0
√ du
1−u2 =−π.
On a donc pour toutnnon nul : 2
Z 1/n 1/n
sinx
x dx−π+o(1) = 0.
Quandn→i nf ty, on en tire : 2
Z +inf ty 0
sinx
x dx−π = 0 et doncJ = π2.
Exercice 6
On considère le plan Oxy comme plongé dans R3 muni d’un repère ortho- norméOxyz. On note~kle vecteur unitaire de l’axeOz. On se donne un champ
~v=P~i+Q~jde classeC1sur l’ouvertU. SoitKun compact,K⊂U, de frontière (C), orienté selon la règle de la formule de Green. Le rotationnel de~vvaut :
(∇ ∧~ ~v) =∂Q)
∂x −∂P)
∂y ~k.
Par conséquent la formule Z Z
K
(∇ ∧~ ~v).~k dxdy= I
(C)
~v−−→ dM est encore équivalente à
Z Z
K
∂Q)
∂x −∂P)
∂y
dxdy= I
(C)
P dx+Qdy, qui est tout simplement la formule de Green.
Index
énergie cinétique, 19 étoilé, 3
absciise curviligne, 15 base duale, 2
champ de gradient, 9 champ de vecteurs, 8 circulation, 8
contour fermé, 7 déplacement, 19 dérivée normale, 15 facteur intégrant, 3 Folium de Descartes, 19 forme différentielle, 1 Forme différentielle exacte, 2 forme fermée, 3
formule de Green, 12 frontière, 9
intégrale curviligne, 4 intégrale de chemin, 15 Lemniscate de Bernoulli, 19 orientation, 5
Poincaré, 3 primitive, 9
relation de Chasles, 6 simplement connexe, 2 travail, 19
trous, 9
Table des matières
1 Formes différentielles 1
1.1 Introduction . . . 1
1.2 Définitions . . . 1
1.3 Différentielle d’une fonction . . . 1
1.4 Ecriture d’une forme différentielle . . . 2
1.5 Forme différentielle de classeCk . . . 2
2 Formes différentielles exactes et fermées 2 2.1 Formes exactes . . . 2
2.2 Comment reconnaître une forme différentielle exacte . . . 2
2.3 Formes différentielles fermées . . . 3
2.4 Exemple . . . 3
2.5 Facteur intégrant . . . 3
2.6 Exemple . . . 3
3 Intégrale curviligne d’une forme différentielle 4 3.1 Exemples et définitions . . . 4
3.2 Propriétés de l’intégrale curviligne . . . 5
3.3 Cas d’une forme différentielle exacte . . . 6
3.4 Un contre exemple classique . . . 7
4 Circulation d’un champ de vecteurs 8 4.1 Exemples et définitions . . . 8
4.2 Propriétés de la circulation . . . 8
4.3 Circulation d’un champ de gradient . . . 9
5 La formule de Green 9 5.1 Orientation de la frontière d’un compact deR2 . . . 9
5.2 Le théorème de Green . . . 9
5.3 Extension de la validité de la formule . . . 13
6 Application au calcul d’une aire plane 13 6.1 Coordonnées cartésiennesx,y . . . 14
6.2 Coordonnées polairesr,θ . . . 14
7 D’autres applications de la formule de Green-Riemann 14 7.1 Dérivée normale et intégrale de chemin . . . 15
7.2 La formule d’Ostrogradsky . . . 15
7.3 Deux autres formules de Green . . . 16
7.4 Application aux fonctions harmoniques, solutions de l’équation de Poisson-Laplace . . . 17
8 Exercices - Première série 19
9 Exercices - Deuxième série 21
10 Correction des exercices - Première série 24
11 Correction des exercices - Deuxième série 26
