H141. Les séquences primophiles
Par convention, la séquence des entiers naturels de 1 ànest appelée «n-primophile » si l’on par- vient à arranger les entiers sur une seule ligne de telle sorte que la somme de deux termes adjacents et la somme de leurs carrés sont l’une et l’autre des nombres premiers.
Par exemple la séquence (1,2) est 2-primophile car les sommes 1 + 2 = 3 et 12 + 22 = 5 sont deux nombres premiers. On lance trois dés à 6 faces supposés parfaits. Quelle est la probabilité que la sommesdes trois numéros obtenus permette d’établir une séquences-primophile ?
Solution de Claude Felloneau
- 18, 16, 13 et 11 n’ont qu’un voisin possible qui est respectivement 5, 1, 10, 6 donc il n’existe pas de séquences-primophile pours=18,s=17 ets=16.
- Si s 615 alors 11, 12 et 13 ont au plus un voisin possible, donc il n’existe pas de séquence s- primophile pours=15,s=14 ets=13.
- La séquence 12, 7, 10, 9, 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6, 11 est 12-primophile.
- La séquence précédente en supprimant 12, soit 7, 10, 9, 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6, 11, est 11-primophile.
- La séquence précédente en supprimant 11, soit 7, 10, 9, 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6 est 10-primophile.
- Pours=7,s=8 ous=9, 7 n’a pas de voisin possible donc il n’existe pas de séquences-primophile.
- La séquence 4, 1, 6, 5, 2, 3 est 6-primophile.
- Il n’existe pas de séquence 5-primophile car 4 n’a qu’un seul voisin possible 1 et une séquence 5- primophile commençant (ou finissant) par 4 contiendrait 3 termes pairs or il n’y a que deux entiers pairs entre 1 et 5.
- La séquence 4, 1, 2, 3 est 4-primophile.
- La séquence 1, 2, 3 est 3-primophile.
configuration des dés nombre de possibilités
s=3 (1, 1, 1) 1
s=4 (1, 1, 2) 3
s=6 (1, 1, 4) ; (1, 2, 3) ; (2, 2, 2) 3+6+1=10 s=10 (1, 3, 6) ; (1, 4, 5) ; (2, 2, 6) ; (2, 3, 5) ; (2, 4, 4) ; (3, 3, 4) 6+6+3+6+3+3=27 s=11 (1, 4, 6) ; (1, 5, 5) ; (2, 3, 6) ; (2, 4, 5) ; (3, 3, 5) ; (3, 4, 4) 6+3+6+6+3+3=27 s=12 (1, 5, 6) ; (2, 4, 6) ; (2, 5, 5) ; (3, 3, 6) ; (3, 4, 5) ; (4, 4, 4) 6+6+3+3+6+1=25
Total = 93 Finalement, la probabilité cherchée est :p= 93
216=31
72≈0, 43.
