G20316. Séquence contrainte
On range les entiers de 1 ànen séquence, avec les règles suivantes : – la séquence commence par 1,
– aucun des entiers n’est immédiatement suivi dans la séquence par l’entier immédiatement supérieur.
Combien peut-il exister de séquences respectant ces règles, àn donné>1 ? Solution
Dans la séquence àntermes :. . . , b, n, c, . . ., sic6=b+1, la séquence obtenue en ôtant n est une séquence correcte à n−1 termes. Inversement, d’une séquence àn−1 termes, on tiren−2 séquences en insérantnà un desn−2 emplacements possibles (celui suivant le terme n−1 est exclu).
Mais si c=b+ 1, ôtons les termesnetb+ 1 ; en enlevant 1 à chaque entier
> b, on obtient une séquence correcte à n−2 termes ; le terme b+ 2 qui devientb+ 1 ne sera pas juste aprèsb, puisque il n’était pas juste aprèsb+ 1 dans la séquence àntermes. Inversement, d’une séquence àn−2 termes, on tiren−2 séquences en choisissant un desn−2 emplacements possibles, puis on ajoute 1 à tous les entiers> b(bétant le terme précédant l’emplacement) et on insèren, b+ 1 après b.
D’où la récurrencesn= (n−2)(sn−1+sn−2), partant de s2 = 0 (car n= 2 ne donne aucune séquence correcte) et s3 = 1 (la séquence 1,3,2). Elle se résout par l’invariant
(−1)n(sn−(n−1)sn−1) = (−1)n−1(sn−1−(n−2)sn−2) =. . .= 2s2−s3 =−1, Ensuite sn/(n−1)! =sn−1/(n−2)! + (−1)n−1/(n−1)!, et sn/(n−1)! est la somme des npremiers termes de la série 1/e. Pour n >1,sn est l’entier le plus voisin de (n−1)!/e.
