Fiche d’exercices : récurrences élémentaires
Exercice 1)
1) Montrer que les propriétés suivantes sont héréditaires a) Pour tout entier n, 34n −1 est un multiple de 5.
b) Pour tout entier n, 34n +1 est un multiple de 5.
c) Pour tout entier n, 10n+1 est un multiple de 9.
d) Pour tout entier n, 10n−1 est un multiple de 9.
2) Quelles sont, parmi les propriétés précédentes, celles qui sont vraies pour tout entier n ? Exercice 2)
Montrer que pour tout entier n, n3−n est un multiple de 3.
Exercice 3)
Montrer que pour tout entier n :
1) 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 ...
6
n n n
n + +
+ + + = 2)
2 2
3 3 3 ( 1)
1 2 ...
4 n n n+ + + + =
3) ( 1)( 2)
1 2 2 3 ... ( 1)
6 n n n
n n + +
× + × + + + =
Exercice 4)
On appelle U la suite définie par u0 =0,un+1= +3 2un. Montrer que pour tout n un ≥0. Exercice 5)
Pour chacune des suites suivantes, calculer ses premiers termes, puis conjecturez-en une expression du treme général, et prouvez cette conjecture par récurrence.
a) u0 =0,un+1 = +un n b) 0 1, 1
1
n n
n
u u u
+ u
= =
+
c) 1 1 1 1
3, n 3 n
u = u + = n+ u
Exercice 6
Montrer que, pour tout entier n ? 5, 2n+ <1 2n. En déduire que n2 <2n. Exercice 7
On définit une suite par un+1 = un+15. Montrer que si u0∈[0; 4] alors pour tout n : [0;5]
un∈ , et que si u0∈[5;10] alors pour tout n : un∈[4;10]
