Théorie de la mesure et de l’intégration

Théorie de la mesure et de l’intégration

Licence Mathématiques - M 28 (2019 - 2020)

Allal GHANMI

Table des matières

1 Espaces mesurables 3

1.1 Clans (Algèbres de Boole) . . . 3

1.2 Tribus (σ-Algèbres de Boole) . . . 4

1.3 Construction des tribus . . . 5

1.3.1 Construction 1 : Tribu trace (induite) . . . 5

1.3.2 Construction 2 : Tribu image réciproque . . . 5

1.3.3 Construction 3 : Intersection de tribus . . . 5

1.3.4 Construction 4 : Tribu produit . . . 6

1.4 Tribu de Borel . . . 6

2 Fonctions mesurables 9 2.1 Définitions et exemples . . . 9

2.2 Un cas spécial . . . 10

2.3 Fonctions mesurables à valeurs dansR . . . 11

2.4 Fonctions mesurables à valeurs dansR . . . 13

2.5 Approximation des fonctions mesurables . . . 15

3 Mesures positives 18 3.1 Définitions et exemples . . . 18

3.2 Propriétés élémentaires des mesures positives . . . 20

3.3 Notions (µ-négligeable etµ-presque partout) . . . . 24

4 Mesure de Lebesgue 25 4.1 Un théorème de prolongement . . . 25

4.2 Mesure de Borel (Lebesgue) surR . . . 25

4.3 Mesure de Lebesgue . . . 26

4.4 Esquisse de la preuve du théorème de prolongement de Caratheodory . . . 28

5 Construction de l’intégrale au sens de Lebesgue 30 5.1 Intégrale des fonctions étagées positives . . . 30

5.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . 34

5.3 Intégration des fonctionsµ-mesurables positives . . . . 37

6 Théorème de la convergence monotone et lemme de Fatou 39 6.1 Théorème de la convergence monotone . . . 39

6.2 Lemme de Fatou . . . 40

7 EspacesL^petL^p, théorème de convergence dominée et applications 42 7.1 Fonctions intégrables . . . 42

7.2 L’espaceL¹des fonctions intégrables . . . 44

7.3 Théorème de convergence dominée de Lebesgue . . . 45

7.4 Applications du TCD : intégrales dépendant d’un paramètre . . . 46

7.4.1 Continuité sous le signe d’intégration . . . 46

7.4.2 Dérivabilité sous le signe d’intégration . . . 46

7.5 EspacesL^petL^p . . . 47

7.5.1 L’espaceL¹ . . . 47

8 Tribus produit, Mesures produit et théorème de Fubini 51

8.1 Tribu Produit . . . 51

8.2 Fonctions mesurables sur la tribu produit . . . 52

8.3 Mesure produit . . . 53

8.4 Théorèmes de Fubini . . . 54

8.5 Changement de variables . . . 56

Chapitre 1

Espaces mesurables

Sommaire

1.1 Clans (Algèbres de Boole) . . . . 3

1.2 Tribus (σ-Algèbres de Boole) . . . . 4

1.3 Construction des tribus . . . . 5

1.3.1 Construction 1 : Tribu trace (induite) . . . 5

1.3.2 Construction 2 : Tribu image réciproque . . . 5

1.3.3 Construction 3 : Intersection de tribus . . . 5

1.3.4 Construction 4 : Tribu produit . . . 6

1.4 Tribu de Borel . . . . 6 Dans toute la suiteXdésignera un ensemble non vide. On notera parP(X)l’ensemble de parties deX.

1.1 Clans (Algèbres de Boole)

Une classeC de parties deX(C ⊂ P(X)) est appelée clan (ou algèbre de Boole ou tout simplement algèbre) si : 1. ∅∈_C.

2. C est stable par passage au complémentairedansX: siA∈C, alors{_X^A=X\A∈C. 3. C est stable par réunion : siA,B∈C, alorsA∪B∈C.

Définition 1.1

SoitC une algèbre de parties deX. Les propriétés suivantes sont immédiates : 1. X∈C.

2. C est stable par réunion finie : siA₁,· · ·,An∈_C, alors (par induction)A₁∪ · · · ∪An ∈_C.

3. C est stable par intersection finie : si A1,· · ·,An ∈ C, alors A1∩ · · · ∩An ∈ C. En effet pourn = 2, on a {^A_X¹,{_X^A2 ∈_C dés queA₁,· · ·,An∈_C, et donc{^A_X^1∩A2 =_{^A_X¹∪_{^A_X² ∈_C. Par suiteA₁∩A₂=_{^{

A1 X ∪{_X^A2

X ∈_C.

4. C est stable par différence non symétrique : siA,B∈C, alorsA\B∈C, puisqueA\B=A∩_{^B_X. 5. C est stable par différence symétrique : siA,B∈_C, alorsA∆B:= (A\B)∪(B\A)∈_C.

Remarque 1.1

Exemples Il y a beaucoup d’algèbres sur un ensemble non-vide donnéX.

1. La plus grosse est l’algèbreP(X). 2. La plus petite est{_∅,X}.

3. SoitA⊂X. La plus petite algèbre contenantAest la collection constituée de∅,A,A^{etX.

4. L’intersection de deux algèbresC1etC2surXest définie par

C1∩C2:={A⊂X; A∈C1etA∈C2}.

C’est encore une algèbre surX. Plus généralement, l’intersection d’une famille quelconque d’algèbres surXest une algèbre surX.

La collection de parties{A₁∩A₂⊂X;A₁∈_C1etA₂∈_C2}ne définit pas forcément une algèbre surX.

Remarque 1.2

Il y a d’autres systèmes équivalents à l’ensemble des axiomes dans la définition d’une algèbre. On cite par exemple la définition équivalente suivante :

C ⊂ P(X)est un clan surXsi et seulement si i) X∈C.

ii) C est stable différence non symétrique.

iii) C est stable par réunion.

Proposition 1.1

Démonstration. Il suffit de montrer que toute collectionC ⊂ P(X)vérifiant les assertionsi),ii)etii)de la proposition 1.1 est forcément une algèbre surX. Par hypothèse,C est stable par réunion. on a De plus∅ = _X∆X ∈ _C d’aprèsii), puisqueX∈_C. Pour conclure, il suffit de voir siC est stable par passage au complémentaire dansX. SoitA∈_C, alors

{X^A=X\A= (X\A)∪(A\X)

| {z }

∅

=_A∆X∈_C.

1.2 Tribus (σ-Algèbres de Boole)

On s’intéresse ici à des classes particuliers des algèbres qu’on appelle tribu (ou σ-algèbre ou encore σ-algèbre de Boole) surX.

Toute algèbreC surXstable par réunion dénombrable est dite tribu surX.

Définition 1.2

Plus précisément, une collection C de parties de X,C ⊂ P(X), est dite tribu sur Xsi elle possède les propriétés suivantes :

1. C est non-vide.

2. C est stable par passage au complémentaire.

3. C est stable par réunion au plus dénombrable.

Par conséquence, on a les propriétés suivantes pour une tribuM surX: 1. M contient nécessairement les parties∅etX.

2. M est stable par intersection dénombrable.

3. M est stable par différence non symétrique et par différence symétrique.

Comme dans le cas des algèbres, il y a d’autres systèmes équivalents à l’ensemble des axiomes définissant une tribu. Par exemple, on peut vérifier queC ⊂ P(X)est une tribu surXsi et seulement si

1. X∈C.

2. C est stable par différence non symétrique.

3. C est stable par réunion au plus dénombrable.

Espaces mesurables 4

Le couple(X;C)formé d’un ensemble non videXet d’une tribuC surXest dit espace mesurable. Les éléments deC sont appelés les partiesC-mesurables deXou simplement mesurables s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de la tribuC.

Définition 1.3

Il est clair que toute tribu (σ-algèbre) sur Xest une algèbre surX. Les exemples des algèbres surXcités précé- demment sont aussi des σ-algèbres surX. En revanche, il existe des algèbres qui ne sont pas des tribus. Un des contre-exemple est donné par

C ={A∈ P(X); A fini ouA^{=X\A fini}

où Xest un ensemble non vide et infini. Le fait queC n’est pas une tribu surXse démontre comme suit. Notons tout d’abord que{x} ∈_C pour toutx ∈ Xcar{x}^{est infini (Xest infini). Soit maintenant(xn)_nune suite infinie deX(une telle suite existe^a). On considère alors la partieA={x2n,n=0, 1,· · · }etB={x2n+1,n=0, 1,· · · }. Il est clair queAest infini et queA^{l’est aussi puisqueA^{⊃BetBest infini. Ceci montre queA∈/C.

a. La construction de(xn)_npeut se faire comme suit : commeXest non vide, on peut exhiber unx0 ∈X. Maintenant, on redémarre avec {x0}^{qui est infini et exhibe unx1∈ {x0}^{. Étant choisi les premiersx0,x1,· · ·,xn, le choix dexn+1se fait dans{x0,x1,· · ·,xn}^{qui est infini.

Remarque 1.3

1.3 Construction des tribus

La plus part des tribus non-triviaux sont obtenues implicitement pas des constructions spéciales à partir des tribus données.

1.3.1 Construction 1 : Tribu trace (induite)

SoitM une tribu de parties deX. Pour toute partie fixéeCnon vide deX, on définit MC:={A∩C; A∈_M}.

AlorsMCest une tribu surC, appelée tribu induite parM (ou encore tribu trace deM) surC.

Attention :Dans la preuve de la stabilité lors du passage au complémentaire, il faut prendre le complémentaire dansC et ne pas dansX. En effet, siB∈MC, alorsM= A∩Cpour certainA∈M. Par suite

{C^B=C\B=C∩_{^B_X=C∩_{^A∩C_X =C∩_{X^A∪_{^C_X=_{C^A

1.3.2 Construction 2 : Tribu image réciproque

Soient XetY deux ensembles non vides et f : X −→ Y une application donnée. SiMY est une tribu surY, alors f⁻¹(_MY) =f⁻¹(B);B∈_MY est une tribu surX. On appelle f⁻¹(_MY)tribu image réciproque.

Pour la preuve, on utilise les propriétés suivantes {_X^f−1(B)= f⁻¹

{^B_Y

; f^{−1 [}

i∈I

Bi

!

=^[

i∈I

f⁻¹(Bi) ainsi que f⁻¹(Y) =X.

1.3.3 Construction 3 : Intersection de tribus

Une partie considérable des tribus "intéressantes" surXsont construites en utilisant le résultat quetoute intersection (dénombrable ou non) de tribus de parties de X est encore une tribu de parties de X.

SoitFune famille de parties deX. La tribu

\

n Mtribu surX M⊃ F

o

M =:σ(F)

est la plus petite tribu surXcontenantF. Proposition 1.2

σ(F)est dite la tribu surXengendrée parF. Définition 1.4

1) SoientC etC⁰deux collections de parties deX. Alors,

i) SiC ⊂_C⁰, alorsσ(_C)⊂σ(_C⁰)(en particulier siC⁰est une tribu, on aσ(_C)⊂_C⁰).

ii) On aσ(_C)⊂σ(_C⁰)⇐⇒C ⊂σ(_C⁰)_.

iii) σ(_C) =σ(_C⁰)⇐⇒_C ⊂σ(_C⁰)etC⁰ ⊂σ(_C).

2) Si f :X−→Yest une application etCYune collection de parties deY, alors σ(f⁻¹(_CY)) = f⁻¹(σ(_CY)).

Proposition 1.3

On peut avoirσ(_C) =σ(_C⁰)pour deux classes différentesC etC⁰. Par exemple, on aσ({A}) =σ({A^{}). Remarque 1.4

On rencontrera souvent la situation du cas particulier de la proposition précédente : on aura deux tribusM etM⁰ sur le même ensembleXet on voudra montrer queM ⊂_M⁰. Si on sait queM est engendrée par une collectionC (autrement ditσ(C) =M), il suffira alors de prouver queC ⊂M⁰.

Remarque 1.5(Emboitage des Tribus)

1.3.4 Construction 4 : Tribu produit

Soient(X;MX)et(Y;MY)deux espaces mesurables.

— La tribu produit deMXetMYest la tribu sur le produit cartésienX×Y, notéMX⊗MY, engendré par les parties A×BoùA∈MXetB∈MY.

— Le couple(X×Y;MX⊗MY)est dit espace mesurable produit des espaces(X;MX)et(Y;MY).

Le produit cartésien des deux tribus,MX×MY, n’est pas une tribu surX×Y(La stabilité par réunion dénom- brable tombe en défaut). Mais on a bien

MX⊗MY=σ(MX×MY). Remarque 1.6

1.4 Tribu de Borel

La notion de tribu Borélienne est liée à la structure topologique de l’ensemble de base.

Espaces mesurables 6

On appelle espace topologique tout couple(X;O)formé d’un ensemble non videXet d’une familleOde parties deXpossédant les propriétés

1. Ocontient les parties∅etX.

2. Oest stable par intersections finies.

3. Oest stable par réunions quelconques.

Les éléments deOsont les ouverts de la topologie. Les complémentaires des ouverts sont les fermés de la topologie.

Définition 1.5(Topologie)

Topologie usuelle surR:

La topologie dite usuelle surRest donnée par la collectionT_Rdes parties deRqui sont unions d’intervalles ouverts ]a,b[_aveca∈R∪ {−∞}etb∈R∪ {+∞}. Dans cette topologie (topologie usuelle), un ensembleO⊂Rest ouvert si

∀x∈O, ∃a,b∈R x∈]a,b[⊂O.

SiOest un ouvert deR, on considère

I ={(ρ,r)∈_Q×_Q^∗₊;]ρ−r,ρ+r[⊂O}. AlorsI est dénombrable (elle s’injecte dansQ×Q) et

O= ^[

(ρ,r)∈I

]ρ−r,ρ+r[.

Ainsi tout ouvert deRpeut s’écrire comme réunion au plus dénombrable d’intervalles ouverts (on peut même se limiter à des intervalles à extrémités rationnelles).

Tribu de Borel

Soit(X;O)un espace topologique. La tribu de parties deXengendrée par la familleOest appelée tribu de Borel ou encore tribu des boréliens deX.

Définition 1.6

— On noteB(X)la tribu borélienne de l’espace topologique(X;O), s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de la topologie mise surX.

— Les ouverts et les fermés, les intersections dénombrables d’ouverts, les réunions dénombrables de fermés sont des éléments deB(X), dits des boréliens deX.

Remarque 1.7

SoitB(R):=σ(T_R)la tribu borélienne deR, oùT_Rest la collection de parties deRqui sont unions d’intervalles ouverts. Alors,B(R)est aussi la tribu engendrée par l’un des classes suivantes

1. La collectionJ1:={]a,−_∞[;a∈_R}. 2. La collectionJ2:={]a,−∞[;a∈Q}. 3. La collectionJ3:={[a,−∞[_;a∈R}. 4. La collectionJ4:={[a,−_∞[;a∈_Q}.

5. La collectionJ5:={]a,b[_;a,b∈R}des intervalles ouverts bornés deR.

Théorème 1.1

Preuve :

— Pour toutk=1, 2, 3, 4, 5, on aJk⊂_TRet donc

σ(_Jk)⊂σ(_TR) =:B(_R).

— Il est clair queJ2⊂J1⊂T_R⊃J3⊃J4. Il en résulte que

σ(J2)⊂σ(J1)⊂σ(T_R) =:B(R)⊃σ(J3)⊃σ(J4).

— La preuve sera achevée en montrant

B(R):=σ(T_R)⊂σ(J2) et B(R):=σ(T_R)⊂σ(J4) Pour ceci, il suffit alors de vérifier que

T_R⊂σ(J2) et T_R ⊂σ(J4).

Montrons par exemple queT_R⊂σ(_J2): Comme tout ouvert deRest une réunion au plus dénombrable d’intervalles de la forme]a,b[aveca<beta,b∈_R∪ {−_∞,+_∞}, il suffit alors de montrer que ces derniers sont dansσ(_J2).

— Pour touta,b∈_R∪ {−_∞,+_∞}aveca<b, il existe deux suites(an)et(bn)dansQvérifiant

— (an)est décroissante et(bn)est croissante aveca<an <bn <b

— an→aetbn →b telles que

]a,b[=^[

n

]an,bn[.

— Or on a

]an,bn[=]−∞,bn[∩











]−∞,an]

z }| {

\

k≥1

]−∞,an+¹ k[











{

∈σ(J2).

[mynote=]

— T_R⊂σ(J4)s’établit de manière analogue.

— Une démonstration directe deT_R⊂σ(J1) =M1est la suivante

— Par construction, on a]a,+_∞[∈J1⊂M1pour touta∈R.

— Par intersection dénombrables d’éléments deM1et passage au complémentaire, on a aussi

]−_∞,a[= ([a,+_∞[)^{= ^\

n∈N

]a− ¹ n,+_∞[

!{

∈_M1.

— Comme intersection de deux éléments deM1, on a

]a,b[=]−∞,b[∩]a,+∞[∈M1; a<b.

On conclut alorsM1contient tous les ouverts deRetM1⊃B(_R)_.

— La preuve deT_R ⊂σ(_J5), est immédiate du fait que tout ouvert est réunion au plus dénombrable d’intervalles ouverts bornés (voir le rappel topologique).

Espaces mesurables 8

Chapitre 2

Fonctions mesurables

Sommaire

2.1 Définitions et exemples . . . . 9

2.2 Un cas spécial . . . 10

2.3 Fonctions mesurables à valeurs dansR . . . 11

2.4 Fonctions mesurables à valeurs dansR . . . 13

2.5 Approximation des fonctions mesurables . . . 15

2.1 Définitions et exemples

Soit (_X,M) _et (_X⁰_,M⁰) deux espaces mesurables et f : X −→ X⁰ une fonction. On dit que f est (_M,M⁰)_- mesurable (ou simplement mesurable s’il n’y a pas d’ambiguïté) si

f⁻¹(_M⁰)⊂_M, c’est-à-dire que pour toutA⁰∈_M⁰on af⁻¹(A⁰)∈_M.

Définition 2.1

LorsqueM etM⁰sont des tribus boréliennes, toute fonction(_M,M⁰)-mesurablef deXdansX⁰est dite fonction (_M,M⁰)-borélienne.

Définition 2.2

Soient(X,M1),(X,M2),(X⁰,M₁⁰)et(X⁰,M₂⁰)des espaces mesurables. Si f :X−→ X⁰est(M1,M₁⁰)-mesurable, alors

1. f est aussi(_M2,M₁⁰)-mesurable siM1⊂_M2. 2. f est aussi(M1,M₂⁰)-mesurable siM₁⁰ ⊃M₂⁰.

3. f est aussi(_M2,M₂⁰)-mesurable siM1⊂_M2etM₁⁰⊃_M2⁰. Remarque 2.1

Exemple : Soit X un ensemble. Toute fonction f de (X,P(X)) dans un espace mesurable quelconque (Y,M) est (P(X)_,M)-mesurable. Rien à prouver puisque pour touteB∈M, on af⁻¹(B)est effectivement une partie deX.

Exemple : SiM etM⁰ sont deux tribus surX, alors l’application identité IdX : X −→ X;IdX(x) = x, est(_M,M⁰)- mesurable si et seulement siM⁰⊂M. Ceci résulte du fait queId⁻¹_X (_M⁰) =_M⁰. En effet, pour toute partieB∈M⁰, on a Id⁻¹_X (B) =B∈_M⁰ ⊂_M.

Exemple : Si(X,M)et(X⁰,M⁰)sont deux espaces mesurables. Les applications constantes f :X−→ X⁰(i.e., il existe b ∈ X⁰ tel que f(x) = bpour toutx ∈ X) sont des fonctions(_M,M⁰)-mesurables. En effet, pour toute B ∈ _M⁰, on a

f⁻¹(B) =Xsib∈ Betf⁻¹(B) =_∅sib∈/B. Dans les deux cas, on af⁻¹(B)∈_M..

Exemple : Soit(X,M)un espace mesurable etAune partie quelconque deX. La fonction indicatriceχ_A :X−→Rde Adéfinie par

χ_A(x) =

1 six ∈A 0 six 6∈A

est(_M,B(_R))-mesurable si et seulement siA∈_M. Ceci est du au fait que pour touteB∈B(_R), on a

χ⁻¹_A (B) =











∅ si 0, 1 /∈A, A^c si 0∈ A, 1 /∈A, A si 1∈ A, 0 /∈A;

X si 0, 1∈A.

Il en résulte alors queχ_Aest(_M,B(_R))-mesurable si et seulement siA∈_M.

Le composé de fonctions mesurables est encore une fonction mesurable. Autrement dit, la mesurabilité des fonc- tions est stable par composition.

Proposition 2.1

Preuve :Soient(X,M),(X⁰,M⁰)et(X”,M”)trois espaces mesurables, f :X−→X⁰une fonction(M,M⁰)-mesurable et g:X⁰ −→X” une fonction(M⁰,M”)-mesurable. On ag⁻¹(M”)⊂M⁰et f⁻¹(M⁰)⊂M. Par suite

(g◦f)⁻¹(_M”) = f⁻¹(g⁻¹(_M”))⊂ f⁻¹(_M⁰)⊂M.

Ceci montre queg◦f est une fonction(M,M”)-mesurable.

2.2 Un cas spécial

Soient(X,M)et(X⁰,M⁰)deux espaces mesurables etC⁰une collection de parties deX⁰engendrantM⁰ (c-à-d.

σ(C⁰) =M⁰). Une applicationf :X−→X⁰est(M,M⁰)-mesurable si et seulement si f⁻¹(C⁰)⊂M. Théorème 2.1

Preuve : Si f est (M,M⁰)-mesurable, on a f⁻¹(M⁰) ⊂ M. Du fait queC⁰ ⊂ M⁰ = σ(C⁰), on déduit f⁻¹(C⁰) ⊂ f⁻¹(M⁰)⊂M. Réciproquement, supposons que f⁻¹(C⁰)⊂M et considérons

M” :={A⁰ ⊂X⁰/f⁻¹(A⁰)∈M}.

On a bienC⁰⊂M”, ce qui montre en particulier queM” est non vide. De plus, la collectionM” est bien une tribu surX⁰ (c’est la tribu image directe - voir TD). CommeM⁰est la plus petite tribu surX⁰contenantC⁰, on conclut queM⁰ ⊂M”, et donc

f⁻¹(M⁰)⊂ f⁻¹(M⁰⁰)⊂M.

D’où f est(_M,M⁰)-mesurable.

SoientXetX⁰deux ensembles non vides, etC etC⁰deux collections de parties deXetX⁰, respectivement. Alors, toute application f :X−→X⁰satisfaisantf⁻¹(C⁰)⊂C est(σ(C),σ(C⁰))-mesurable.

Corollaire 2.1

Preuve : Par hypothèse, on a f⁻¹(C⁰) ⊂ C ⊂ σ(C). On applique alors le théorème précédent (Théorème 2.1) avec

M⁰=σ(C⁰)etM =σ(C).

Soit (X,T) et(X⁰,T⁰) deux espaces topologiques. Alors, toute fonction f : X −→ X⁰ continue sur X(c.à d.

f⁻¹(_T⁰)⊂_T) est borélienne.

Corollaire 2.2

Fonctions mesurables 10

Preuve :II suffit d’appliquer le résultat précédent ; puisque par définition on a B(X,T) =σ(T) et B(X⁰,T⁰) =σ⁰(T⁰).

Le théorème précédent (ainsi que ses corollaires) est fondamental et permet de montrer la mesurabilité d’une application en ne regardant que les images réciproques d’éléments d’une famille engendrant la tribu de l’espace d’arrivé (si c’est le cas). Par exemple, si l’espace d’arrivé est(_R,B(_R)), il suffira de regarder les images réciproques des parties de la forme]a,+_∞[,a∈_R(ou biena∈Q), car la collection de ces éléments engendreB(_R).

Remarque 2.2

Une application borélienne f :X−→X⁰n’est pas forcément une fonction continue. Le contre-exemple est donné par la fonction indicatrice d’une partie Anon-vide borné deX = R. La partieAest supposé non-vide et bornée pour éviter les casχ_A=0 etχ_A=1, respectivement, qui sont évidement des fonctions continues.

Remarque 2.3

Soit Xet X⁰ deux ensembles, C⁰ une collection de parties de X⁰ et posonsB = σ(f⁻¹(_C⁰))_etB⁰ = σ(_C⁰)_{. Si} f :X−→X⁰une fonction(_B,B⁰)-mesurable, alors

σ(f⁻¹(_C⁰)) = f⁻¹(σ(_C⁰)). Corollaire 2.3

Preuve :Du fait queC⁰ ⊂σ(C⁰), on a f⁻¹(C⁰)⊂ f⁻¹(σ(C⁰)). Par suite, commef⁻¹(σ(C⁰))est une tribu surXcontenant f⁻¹(C⁰), on a donc

σ(f⁻¹(_C⁰))⊂ f⁻¹(σ(_C⁰)) =_: f⁻¹(_B⁰)_.

Ensuite, en vertu du théorème précédent, f est (_B,B⁰ = σ(_C⁰))-mesurable si et seulement si f⁻¹(_C⁰) ⊂ _B := σ(f⁻¹(_C⁰)). Alors,

f⁻¹(σ(_C⁰))⊂_B=σ(f⁻¹(_C⁰)). .

Toute application f :X−→X⁰est(B,B⁰)-mesurable, avecB=σ(f⁻¹(C⁰))etB⁰ =σ(C⁰)pour toute collection C⁰ ⊂ P(_X⁰)_.

Remarque 2.4

2.3 Fonctions mesurables à valeurs dans R

Dorénavant, sauf mention du contraire, l’ensembleRsera muni de sa tribu borélienneB(R).

Soit(X,M)un espace mesurable. Les assertions suivantes sont équivalentes 1. f :X−→Rest mesurable.

2. A_α:={x∈ X; f(x)>α}=:{f >α} ∈_M pour toutα∈_R.

3. Bα :={x∈X; f(x)<α}=:{f <α} ∈M pour toutα∈R.

4. C_α:={x∈ X; f(x)≤α}=_:{f ≤α} ∈M pour toutα∈R.

5. D_α:={x ∈X; f(x)≥α}=:{f ≥α} ∈_M pour toutα∈_R.

Proposition 2.2

Preuve :On applique le théorème précédent puisque ces intervalles engendrentB(R)(voir Chapitre 1). En effet,

— (1)⇐⇒(2)(resp.(1)⇐⇒(3)) grâce au fait queB(R)est engendrée par les intervalles ouverts deRde la forme ]α,+∞[(resp.]−∞,α[) ;α∈R.

— (2)⇐⇒(4)par passage au complémentaire.

— (3)⇐⇒(5)par passage au complémentaire.

— Dans ce qui suit, nous donnons une démonstration directe de(2)⇐⇒(5). En effet, supposons qu’on a(2), alors A_α−1

n ∈_M; ∀α∈_R; ∀n≥1.

Ensuite, commeDα= ^+∞T

n=1

A_α−1

n etM est une tribu surX, on déduit queDα∈M. Réciproquement, en supposant que l’assertion(5)est vraie, on en déduit que

Aα=

+∞

[

n=1

D_α+1

n ∈M.

Soit f : X −→ Cune fonction sur un espace mesurable(X,M)à valeurs dansC, avec f = f1+i f2et f1,f2 : X−→R. Alors, f est mesurable si et seulement si<(f) = f1et=(f) = f2sont des fonctions mesurables.

Proposition 2.3

Preuve :Notons tout d’abord que queB(_C) = B(_R²)et que les projections canoniquesPx : R² −→ _R;(x,y) 7→ x et Py :R² −→ _R;(x,y) 7→ ysont continues et donc mesurables. Alors, f est mesurable si et seulement siF : X −→ _R²; F(x) = (<(f)(x),=(f)(x)), est mesurable. En effet, pour touta,b∈_{R, on a}

f⁻¹(]a,+_∞[×]b,+_∞[) =F⁻¹(]a,+_∞[×]b,+_∞[)

=<(f)⁻¹(]a,+_∞[)∩ =(f)⁻¹(]b,+_∞[).

Par suite, si f est mesurable, alors Px◦F =: <(f)et Py◦F =: =(f) sont mesurables (comme composé de fonctions mesurables). Réciproquement, si<(f)et=(f)sont mesurables, alors f est mesurable (en tenant compte de la deuxième égalité f⁻¹(]a,+_∞[×]b,+_∞[) =<(f)⁻¹(]a,+_∞[)∩ =(f)⁻¹(]b,+_∞[)).

Si f etgsont deux fonctions mesurables sur un espace mesurable(X,M)à valeurs dansRetc∈R, alors on a les propriétés suivantes :

1. c f est mesurable.

2. f²est mesurable.

3. |f|est mesurable.

4. f+gest mesurable.

5. f×gest mesurable.

Proposition 2.4

Preuve :

1. On aA_α(c f) =A_α/c(f)∈_M sic>0 etA_α(c f) =B_α/c(f)∈_M sic<0. Le casc=0 est trivial puisqueA_α(0) =_∅ quandα≥0 etA_α(0) =Xquandα<0.

2. On aAα(f²) =X∈M siα<0 etAα(f²) =A^√_α(f)∪B₋^√_α(f)∈M siα≥0.

3. On aAα(|f|) =X∈M siα<0 etAα(|f|) =Aα(f)∪B−α(f)∈M siα≥0.

4. On aA_α(f +g) = ^S

r∈QSr (réunion dénombrable), avec

Sr :=Ar(f)∩Aα−r(g)∈_M, pour toutr∈Q. L’inclusion ^S

r∈QSr ⊂ A_α(f+g)est clair. Pour l’inclusion inverse,A_α(f+g)⊂ ^S

r∈QSr, notons que pourx ∈ Aα(_f +_g)_{on a f}(_x) > α−g(_x). Il existe alorsr ∈ Qtel que f(_x) > _r > _g(_x)−αet donc f(_x) > _ret g(x)>α−r.

5. La mesurabilité de f×gpeut être vu comme conséquence de(1),(2)et(4), puisque f ×g= ¹

4

[f+g]²−[f−g]².

Fonctions mesurables 12

L’assertion (2) est un cas particulier du (5). On peut redémontrer (4) et (5) à l’aide de la fonction mesurableF = X−→R²définie par

F(x):= (f(x);g(x)) et la mesurabilité (continuité) des fonctionsϕ;ψ:R²−→Rdéfinie par

ϕ(a,b) =a+b et ψ(a,b) =ab, puisque

f+g=ϕ◦F et f×g=ψ◦F.

Remarque 2.5

A toute fonction f :X−→R, on associe les fonctions f⁺et f⁻données respectivement par f⁺(x) =_sup{f(x)_{, 0}}

et

f⁻(x) =−inf{f(x), 0}=sup{−f(x), 0} surX, de sorte que

f = f⁺−f⁻.

f⁺ est dite la partie positive de f et f⁻ la partie négative de f. Ce sont des fonctions à valeurs positives f⁺,f⁻ : X−→R⁺.

Définition 2.3

La fonction f :X−→_Rest mesurable si et seulement si les fonctions f⁺et f⁻sont mesurables.

Proposition 2.5

Preuve :La proposition est une conséquence immédiate des observations suivantes

•f = f⁺−f⁻,

•|f|= f⁺+f⁻,

•f⁺ = ¹

2(|f|+f),

•f⁻ = ¹

2(|f| −f).

Dans la suite, on considérera les fonctions définies sur un espace mesurable(X,M)à valeurs dansR:=R∪ {±∞}.

2.4 Fonctions mesurables à valeurs dans R

Les ouverts (standards) deRsont des réunions des intervalles (ouverts deR) de la forme]a,b[_,[−∞,a[_et]b,+_∞]_; a,b∈_R.

Définition 2.4

On appelle tribu borélienne surRla tribu engendrée par les ouverts deR.

Définition 2.5

Comme pourB(_R), on peut montrer que

B(_R) =σ({]a,+_∞]_;a∈R}) =σ({[a,+_∞]_;a∈R}) =· · ·.

Notation :Soit (X,M) un espace mesurable. On note par(X,M) l’ensemble des fonctions mesurables sur(X,M)_à valeurs dansR.

Soit(X,M)un espace mesurable. Les assertions suivantes sont équivalentes 1. f :X−→_Rest mesurable.

2. {f >α} ∈_M pour toutα∈_R.

3. {f <α} ∈M pour toutα∈R.

4. {f ≤α} ∈_M pour toutα∈_R.

5. {f ≥α} ∈M pour toutα∈R.

Proposition 2.6

Preuve :La démonstration est similaire à celle donnée dans le cas des fonctions f définient surXet à valeurs dansR.

Soit(X,M)un espace mesurable et f,g:X−→_Rdes fonctions mesurables. Alors, {f <g};{f ≤g};{f =g} ∈M.

Proposition 2.7

Preuve : 1. On a

{f <g}= ^[

r∈Q

{x ∈X;f <r<g}= ^[

r∈Q

({f <r} ∩ {g>r})∈_M. 2. {f ≤g} ∈_M s’obtient par passage au complémentaire dans{g< f}, ou bien grâce au fait que

{f ≤g}= ^\

n∈N^∗

f <g+¹ n

.

3. {f =g}={f ≤g} ∩ {f ≥g} ∈M.

Soit(X,M)un espace mesurable. Une fonction f :X−→Rest mesurable si et seulement si A:={x∈X; f(x) = +_∞} et B :={x∈X; f(x) =−∞} sont des parties mesurables, et la fonction ef :X−→Rdéfinie par

ef(x) =

0 surA ∪ B

f(x) sinon = (1−χ_A∪B)(x)f(x)) est mesurable (avec la convention que 0× ±_∞=0 dansR).

Proposition 2.8

Preuve :Pour l’implication directe, soit f ∈(X,M). Alors A:={f >n;∀n∈N}=

∞

\

n=1

{f >n} ∈M

et

B:={f <−n;∀n∈N}=

∞

\

n=1

{f <−n} ∈M. Soitα∈Ret ef(x) = (1−χ_A∪B)(x)f(x).

— Siα≥0, alors

{ef >α}={f >α} \ A ∈M.

— Siα<0, on a

{fe>α}={f >α} ∪ B ∈_M.

Fonctions mesurables 14

Donc ef est mesurable.

Réciproquement, supposons que feest mesurable et queA,B ∈_M. On distingue deux cas. Siα≥0, on a {x∈X; f(_x)>α}={x∈X; ef(_x)>α} ∪ A ∈M.

Siα<0, on a

{x ∈X; f(x)>α}={x∈ X; ef(x)>α} \ B ∈_M.

Par suite,f est mesurable.

Il est évident de voir que si f : X −→ R est (M,B(R))-mesurable, alors la fonction g : X −→ R définie par g(x) := f(x); x ∈ X, est (M,B(R))-mesurable. Puisque dans ce cas on a A = {g = +∞} = ∅ ∈ M, B={g=−∞}=∅∈M, eteg= (1−χA∪B)g= f :X−→Rest mesurable.

Remarque 2.6

Comme conséquence de la Proposition 2.8, on peut montrer que si f :X−→_R∈(X,M), alors c f, f², |f|, f⁺, f⁻ ∈(_X,M)_.

Noter quec f est identiquement nulle une fois quec=0 (ceci est du au fait que 0×(±_∞) =0 dansR). Notons de plus que la somme f+gde deux fonctions f,g:X−→R, n’est pas en général bien définie par

(f+g)(x) = f(x) +g(x) sur les ensembles

E1:={x∈X; f(x) = +_∞et g(x) =−_∞}= f⁻¹({+_∞})∩g⁻¹({−_∞}) et

E2:={x∈X; f(x) =−∞et g(x) = +∞}= f⁻¹({−∞})∩ f⁻¹({+∞}).

Lorsque les fonctions f,g:X−→Rsont supposées mesurables, il est clair queE1etE2sont des parties mesurables.

Remarque 2.7(Exercice)

Pour f,g:X−→_Rdeux fonctions surX. On définit f+gpar (f+g)(x):==

0 surE₁∪E2, f(x) +g(x) sinon . Définition 2.6

Soient f,g∈(X,M). Alors 1. f+g∈(X,M)_. 2. f×g∈(X,M). Proposition 2.9

Preuve :Une démonstration sera donnée plus tard en utilisant le théorème d’approximation.

2.5 Approximation des fonctions mesurables

Soient fn :X−→_Rune suite de fonctions mesurables sur un espace mesurable(X,M). Alors, sup(fn)et inf(fn) sont des fonctions mesurables.

Proposition 2.10

Preuve :Soitα∈_{R. On a}

{sup(fn)≤α}=^\

n

{fn ≤α} ∈M et

{inf(fn)≥α}=^\

n

{fn ≥α} ∈M. Noter qu’on peut utiliser aussi le fait que

inf(fn) =−sup(−fn).

Soient f,g : X −→_Rdeux fonctions mesurables sur un espace mesurable(X,M). Alors max(f,g)et min(f,g) sont des fonctions mesurables deXdansR.

Corollaire 2.4

Preuve :On prend f₁= f et fn=gpourn≥2 et on applique le résultat de la proposition précédente.

Si fn : X −→ _R est une suite de fonctions mesurables sur un espace mesurable (X,M). Alors, les fonctions lim inf

n fnet lim sup

n

fnsont mesurables.

Corollaire 2.5

Preuve :On a

lim sup

n

fn = lim

n→+∞(sup

k≥n

(f_k)) =inf

n (sup

k≥n

(f_k)). et

lim inf

n fn= lim

n→+∞(inf

k≥n(f_k)) =sup

n

(inf

k≥n(f_k)).

Soient fn :X−→Rune suite de fonctions mesurables sur un espace mesurable(X,M). On a 1. {x ∈X; lim

n→+∞fn(x) existe} ∈_M. 2. Si lim

n→+∞fnexiste surX, lim

n→+∞fn :X←−R, alors elle est dans(X,M). Corollaire 2.6

Preuve :On a

{x∈X; lim

n→+∞fn(x)existe}={lim inf

n fn=lim sup

n

fn} et

n→+∞lim fn=lim inffn=lim supfn.

La réciproque du corollaire précédent peut se déduire en utilisant le théorème d’approximation des fonctions mesu- rables positives ci-dessous (Théorème 2.2).

On appelle fonction étagée surX, toute fonction f :X−→_Rmesurable surXqui ne prend qu’un nombre fini de valeurs distincts dansR.

Définition 2.7

Si f : X −→ _Rest une fonction étagée etαi;i = 1, 2,· · ·, les valeurs distincts de f, alors les Ai = {f = αi} = {f ≥α_i} ∩ {f ≤α_i}sont des parties mesurables et on a f(x) =_∑ⁿ_i=1α_iχ_Ai(x). Réciproquement, toute combinaison linéaire à coefficients réels de fonctions caractéristiques de parties mesurables deXest une fonction étagée.

Remarque 2.8

Fonctions mesurables 16

Soit f ∈⁺ (X,M), une fonction mesurable positive surX. Alors, il existe une suite de fonctions ϕn : X −→ R vérifiant

1. Chaqueϕnest mesurable et prend un nombre fini de valeurs réels surX.

2. Croissance : 0≤ ϕn(x)≤ ϕ_n+1(x)_{pour tout}x∈Xet toutn∈N.

3. f(x) = lim

n→+∞ϕn(x)pour toutx∈X.

Théorème 2.2

Ce théorème est une première étape dans la construction de l’intégrale au sens de Lebesgue.

Remarque 2.9

Preuve : Exercice (voir TD).

Toute fonction mesurablef :X−→R(qui n’est pas forcement positive) est limite d’une suite de fonctions étagées surX.

Corollaire 2.7

Preuve :Il suffit d’écrire f sous la forme

f = f⁺−f⁻

avec f⁺,f⁻:X−→_Rsont des fonctions mesurables positives surX, et d’appliquer ensuite le théorème précédent.

Si f,g:X−→Rdeux fonctions mesurables, alors f +get f×gsont aussi des fonctions mesurables.

Corollaire 2.8

Preuve :En vertu du corollaire précédent, soient(ϕn)_net(ψm)_mdeux suites croissantes de fonctions étagées positives sur Xtelles que

f = lim

n→+∞ϕn et g= lim

m→+∞ψm. Alors,

f+g= _lim

n→+∞(ϕn+ψn) est mesurable. D’autre part

f×g= lim

m→+∞(f×ψm) est mesurable. Ceci résulte du fait que les fonctions

f×ψ_m= lim

n→+∞(ϕ_n×ψ_m):X−→R sont mesurables, puisqueϕn×ψm:X−→_Rsont mesurables.

Chapitre 3

Mesures positives

Sommaire

3.1 Définitions et exemples . . . 18 3.2 Propriétés élémentaires des mesures positives . . . 20 3.3 Notions (µ-négligeable etµ-presque partout) . . . 24 Dans ce chapitre, on associe à chaque espace mesurable donné(X,M)des fonctions définies surM à valeurs dans R⁺, généralisant en quelque sorte la notion de longueur, surface, ... .

3.1 Définitions et exemples

On appelle mesure (positive) sur un espace mesurable(X,M), la donnée d’une applicationµ:M −→Rvérifiant 1. µ(_∅) =0.

2. Positive :µ(A)∈_R⁺pour toutA∈_M.

3. σ-additive : Pour toute famille dénombrable{An; n≥1}d’éléments deux à deux disjoints deM, on a

µ

+∞

G

n=1

An

!

=

+∞ n=1

∑

µ(An). Définition 3.1

Si (X,M)est un espace mesurable et µune mesure donnée sur(X,M), on dit que le triplet (X,M;µ)est un espace mesuré.

Définition 3.2

Une mesureµsur(X,M)est dite finie siµ(X)<+∞.

Définition 3.3

Une conséquence immédiate de laσ-additivité est l’additivité :

µ

n [

k=0

A_k

!

=

∑

µ(A_k)

pour toute famille finie{A_k;k=0, 1,· · ·,n}d’éléments deM deux à deux disjoints.

Remarque 3.1

Mesures positives 18

Exemple (Mesures triviaux) : Soit(X,M)un espace mesurable. On définitµ₁etµ₂surM par µ₁(A) =0

pour toutA∈M et

µ2(A):=

+_∞, siA∈_M \ {_∅}; 0, siA=∅.

Alorsµ₁etµ2sont des mesures sur(X,M).

Exemple (Mesure de Dirac) : Soit(X;M)un espace mesurable etp∈X. On définit surM l’applicationδ_p:M −→R⁺ par

δp(A):=

0 si A63p;

1 si A3 p =:χA(p)

pour toutA∈_M. Alorsδpest une mesure finie deXdansR, dite mesure de Dirac enp(qui charge les points).

Dans la définition précédente, la conditionµ(∅) =0 peut être remplacée par la condition : Il existe A∈M tel que µ(A)<∞.

En effet, d’une part, on a bienµ(A)<+∞pourA=∅∈M. D’autre part, siµ(A)<+∞pour certainA∈M, on a bienµ(A) =µ(A∪∅) =µ(A) +µ(∅)et doncµ(∅) =0.

Remarque 3.2

Il est intéressant de remarquer que pour une série à termes positifs, l’ordre de sommation est sans importance : Si (an)_n∈N⊂_R⁺etϕ:N−→_Nune bijection, on a

n∈

∑

an =

∑

n∈N

a_ϕ(n). Remarque 3.3

Dans la définition précédente, on a étendu àR⁺l’addition dansR⁺en posantx+ (+∞) = +∞, pour toutx∈R⁺. Il faut noter aussi que pour toutx;y;z∈R⁺, l’équationx+y=x+zn’impliquey=zque sixest fini.

Remarque 3.4

Noter également que la somme de la série est à prendre dansR⁺et que, bien sûr,a= _∑

n∈Nansignifie simplement que ∑ⁿ

k=0

a_k →a(dansR⁺) quandn →∞. Noter aussi que si il existen0∈ _Ntel quean₀ = +∞, alors la série⁺∑^∞

n=1

an

diverge.

Remarque 3.5

Une mesureµsur(X,M)est diteσ-finie siXadmet un recouvrement dénombrable par des éléments deM de mesures finies. Plus précisément, s’il existe(En)_n≥1∈_M telle que

X=

+∞

[

n=1

En

et

µ(En)<+_∞ pour toutn≥1.

Définition 3.4

Noter bien que dans cette définition, on ne suppose pas que lesEnsont forcément deux à deux disjoints.

Remarque 3.6

Exemple (Mesure de comptage ou dénombrement) : On définit sur l’espace mesurable(N,P(N))l’application : µ(A):=

Card(A) si A est une partie finie;

+∞ sinon.

Alors, il est facile de voir queµest une mesure sur (_N,P(_N)). De plus, elle est σ-finie du fait queN = ^+S∞

n=0

En avec En={n} ∈ P(_N)etµ(En) =Card({n}) =1<+_∞.

Toute mesure finie estσ-finie. L’implication inverse n’est pas vraie. En effet, la mesure de comptage sur(_N,P(_N)) estσ-finie mais n’est pas finie.

Remarque 3.7

3.2 Propriétés élémentaires des mesures positives

Toute mesureµsur un espace mesurable(X,M)satisfait les propriétés : (1) Monotonie : SiA,B∈M tels queA⊂B, alors

µ(A)≤µ(B)_. En particulier, si de plusµ(A)<+_{∞, alors}

µ(B\A) =µ(B)−µ(A) (A⊂B). (2) Additivité forte : Pour toutA,B∈M, on a

µ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B). (3) σ-sous-additivité : Pour toute suite(An)_nd’éléments deM, on a

µ [

n∈N

An

!

≤

∑

n∈N

µ(An). Proposition 3.1

Preuve :

— CommeA⊂B, la partieBs’écrit sous la formeB =A∪(B\A)avecAet(B\A)sont des parties mesurables et disjoints. Alors,µ(B) =µ(A) +µ(B\A). La positivité de la mesureµimpliqueµ(A)≤µ(B).

Maintenant, si de plusµ(A)est finie, on déduit alors queµ(B)−µ(A) = [µ(A) +µ(B\A)]−µ(A), c’est-à-dire µ(B\A) =µ(B)−µ(A).

— Les partiesAet(B\A)sont mesurables et disjoints et on aA∪B=A∪(B\A)_{. Alors,}µ(A∪B) =µ(A) +µ(B\ A)et par suite

µ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B\A) +µ(A∩B). (∗) Maintenant, puisque

B= (A∩B)∪(B\A) avecA∩Bet(B\A)des parties mesurables et disjoints, on obtient

µ(B) =µ(A∩B) +µ(B\A). (∗∗) En substituant(∗∗)dans le second membre de(∗), on arrive à

µ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B).

Mesures positives 20

— Pour laσ-sous-additivité, soit(An)_nune suite d’éléments deM et considérons les parties(Bn)_ndéfinies par B₀=A₀ et Bn= An\

n−1 [

k=0

A_k

!

pour toutn≥1.

— LesBnsont des parties mesurables deux à deux disjoints.

— LesBnvérifientBn ⊂Anpour toutn∈_N.

— On a^+∞S

n=0An =^+∞F

n=0Bn

Il en résulte alors que

µ

+∞

[

n=0

An

!

=µ

+∞

G

n=0

Bn

!

=

+∞ n=0

∑

µ(Bn)≤

+∞ n=0

∑

µ(An).

Soit(X,M,µ)un espace mesuré. Alors

1. Si(En)n≥1est une suite croissante d’éléments deM, alors µ

+∞

[

n=1

En

!

= lim

n→+∞µ(En).

2. Si(Fn)n≥1est une suite décroissante d’éléments deM avecµ(F1)<+∞, alors µ

+∞

\

n=1

Fn

!

= _lim

n→+∞µ(Fn)_. Théorème 3.1

Preuve :Pour la preuve de (1), on distingue deux cas :

Cas 1 :Il existen0tel queµ(En₀) = +∞. Alors, d’après la croissance de la mesureµ, on obtient +_∞=µ(En₀)<µ

+∞ [

n=1

En

!

et donc

µ

+∞

[

n=1

En

!

= +_∞.

D’autre part, comme la suite des réels (µ(En))n est croissante et µ(En) = +∞ pour tout n ≥ n0, il s’en suit que

n→+∞lim µ(En) = +∞. Enfin

µ

+∞ [

n=1

En

!

= lim

n→+∞µ(En).

Cas 2 :µ(En)est finie pour toutn. Considérons la famille de parties(An)_ndéfinie par : A₁ = E₁et An = En\En−1

pour toutn≥2. Par construction, on aAn ∈_M pour toutn≥1. On note aussi que lesAnsont deux à deux disjoints. De plus, pour toutn≥1, on aEn = ^Fn

i=1

Ai, d’où^+∞S

n=1

En= ^+∞F

n=1

An. Par suite

µ

+∞

[

n=1

En

!

=µ

+∞

G

n=1

An

!

=

+∞

∑

n=1

µ(An) = lim

N→+∞

∑

µ(An)

! .

Comme(En)_nest une suite croissante de parties mesurables de mesures finies, on a, pour toutn≥2, µ(An) =µ(En\En−1) =µ(En)−µ(En−1) (En−1⊂En).

Il en résulte

∑

µ(An) =µ(A1) +

∑

(µ(En)−µ(En−1)) =µ(A1) + (µ(EN)−µ(E1)) =µ(EN).

Enfin,

µ

+∞ [

n=1

En

!

= lim

N→+∞µ(EN).

Pour la preuve de (2), on a par hypothèseµ(F1)<+∞, alorsµ(Fn) <+∞pour toutn, ceci est du à la croissance de la mesureµet au fait que la suite des parties mesurablesFnest décroissante. Par conséquent, la familleBn = F1\Fn est une suite croissante de parties mesurables de mesures

µ(Bn) =µ(F1)−µ(Fn). En appliquant (1) à(Bn)n, il s’ensuit que

µ

+∞

[

n=1

Bn

!

= lim

n→+∞µ(Bn) = lim

n→+∞(µ(F1)−µ(Fn)) =µ(F1)− lim

n→+∞µ(Fn). D’autre part, on a

+∞ [

n=1

Bn=F₁\

+∞

\

n=1

Fn, d’où

µ

+∞

[

n=1

Bn

!

=µ(F1)−µ

+∞

\

n=1

Fn

! . On conclut alors que

µ

+∞

\

n=1

Fn

!

= lim

n→+∞µ(Fn).

La conditionµ(F1)< +∞est nécessaire. En effet, si on prend l’espace mesurable(N,P(N))muni de la mesure de comptage et on considère les parties mesurables

An:={n,n+1,· · · }, on voit que(An)nest décroissante et^T

n An=∅. D’oùµ

T n An

=0. Pourtantµ(An) = +∞pour toutn.

Remarque 3.8

Soit (X,M) un espace mesurable etµ : M −→ _R⁺ une application non-infinie. Alors,µest une mesure sur (X,M)si et seulement si

1. Pour toutA,B∈M tels queA∩B=_{∅, on a}

µ(A∪B) =µ(A) +µ(B). 2. Pour toute suite(An)_ncroissante d’éléments deM, on a

µ ^[

n∈N

An

!

= _lim

n→+∞µ(_An)_. Corollaire 3.1

Preuve :

— L’implication directe (=⇒) résulte de la définition de mesure et de (1) du théorème précédent.

— Pour l’implication inverse (⇐=), notons tout d’abord qu’il existeA∈Mtel queµ(A)<+∞, puisque l’application est non-infinie. Il en résulte queµ(A) = µ(A∪∅) = µ(A) +µ(∅)et doncµ(∅) ≤ µ(A) < +∞. Par suite, on a µ(_∅) =µ(_∅∪∅) =_2µ(_∅)_{et donc}µ(_∅) =_{0, puisque}µ(_∅)est finie. D’autre part, pour toute suite(Bn)_n ⊂ M, on a

[

n∈N

Bn= ^[

n∈N [

k≤n

B_k

!

= ^[

n∈N

An.

Mesures positives 22