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Prénom : MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 1 h ECE 1 9 mars 2009 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
Montrer que siAetB sont deux matrices carrées non nulles telles queAB= 0, alors aucune des deux n'est inversible.
Exercice I.
1. On considère la matrice A=
4 3 −1
−5 −4 1
5 3 −2
. a. Calculer A2.
b. Déterminer les réelsx,y etztels que xA2+yA+zI3= 0. c. A est-elle inversible ? Justier.
2. On considère la matrice B=
0 1 −1 1
1 0 1 −1
−1 1 0 1
1 −1 1 0
.
a. Trouver α∈R tel que B2+ 2B =αI4.
b. En déduire que B est inversible, et exprimer son inverse.
Exercice II.
Soit la fonctionf dénie parf(x) =ex+√ x.
1. Déterminer l'ensemble de dénition Df de f, sur lequel on admettra qu'elle est continue.
2. Calculer f(0).
3. Etudier la monotonie def sur Df.
4. En déduire que f est bijective de Df sur un ensemble que l'on précisera.
5. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions ? Justier.
6. Calculer (f−1)0(e+ 1).
Exercice III.
On considère la matrice inversibleP =
−2 0 −3
1 4 2
0 3 −1
, et l'application f : M3(R) −→ M3(R) X 7−→ P XP−1 . Les deux questions sont indépendantes.
1. Calculer P−1.
2. Montrer que f est bijective.
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