Université BORDEAUX 1 Algèbre L2/2013
Liste d’exercices no 2
(Déterminants, inverses, formules de Cramer)
Exercice 1
Soit une matrice deMn(Z). Montrer que A est inversible d’inverse dans Mn(Z) si et seulement si detA=±1.
Exercice 2
Soitnun entier≥2. On considère la matriceM = (mi,j)∈Mn(R) définie par : (i) mi,i=ipour tout i;
(ii) mi,j =npour tout (i, j)tel que i6=j.
CalculerdetM.
Exercice 3
Soit n un entier ≥ 2 et n réels a1, a2, . . . , an. On considère la matrice M = (mi,j) ∈ Mn(R) définie par :
(i) mi,j =ai pour tout (i, j)tel que j≥i; (ii) mi,j =aj pour tout (i, j) tel que j < i.
CalculerdetM.
Exercice 4
Soientk un entier ≥1 etn = 2k. Soient a, b deux réels. On considère la matrice M = (mi,j) ∈ Mn(R) définie par :
(i) mi,i=apour tout i; (ii) mi,n+1−i =b pour touti; (iii) mi,j = 0sinon.
CalculerdetM.
Exercice 5
Soient un entier n eta1, a2, . . . , an ∈ C. On considère la matrice M = (mi,j) ∈ Mn(C) définie parmi,j =aj−1i (matrice dite de Vandermonde).
1. En faisant Ci ← Ci −a1Ci−1 pour i variant de n à 2, montrer que pour calculer detM, on peut se ramener au calcul du déterminant d’une matrice de Vandermonde de Mn−1(C).
2. En déduire detM.
Exercice 6
SoitA∈Mn(R) une matrice nilpotente : il existe un entier k≥1 tel que Ak= 0.
1. Montrer que In−A est inversible et exprimer son inverse comme polynôme deA.
2. Calculer l’inverse de la matrice
M =
1 1 0 0 · · · 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 . .. ...
... . .. ... ... ... 0
... . .. 0 1 1
0 · · · 0 0 1
.
Exercice 7
Soientn≥2, deux réelsa, b etA la matrice deMn(R) rencontrée dans l’exercice 7 de la feuille 1 :
A=
a b · · · b b a . .. ...
... . .. ... b b · · · b a
.
On a vu que detA = (−1)n+1(b−a)n−1 a+ (n−1)b
. Supposons quea 6= b et a+ (n−1)b 6= 0 de telle sorte que A est inversible. Soit la matrice M = (mi,j) définie par mi,j = 1 pour tout (i, j).
CalculerA2 en fonction de a, b, M et en déduire l’inverse deA.
Exercice 8
Soientnun entier≥3etA∈Mn(C).
1. Quel est le rang deCom(A)en fonction de celui de A ? 2. Montrer que det Com(A) = det(A)n−1.
3. Déterminer Com(Com(A)). Qu’en est-t-il si n= 2 ?
Exercice 9
Soit un réela. On considère le système(S) suivant d’inconnues réellesx, y, z, t :
ax+y+z+t = 1 x+ay+z+t = 1 x+y+az+t = 1 x+y+z+at = 1
1. Déterminer le rang de la matrice associée à(S) en fonction dea.
2. Résoudre (S) lorsqu’il est de Cramer en remarquant que dans ce cas on a x=y=z=t.
3. Retrouver le résultat obtenu en appliquant les formules de Cramer.
Exercice 10
Soienta, b, ctrois réels distincts etd∈R. On considère le système(S)suivant d’inconnues réelles x, y, z :
x + y + z = 1
ax + by + cz = d a2x + b2y + c2z = d2 Résoudre (S). On pourra utiliser l’exercice 5.
