ANNÉE UNIVERSITAIRE 2009/2010 Session 1 de Printemps
Parcours : Mathématiques et Informatique MHT63 UE MHT631 : Algorithmique algébrique 2
Responsable : M. Jean-Paul Cerri Date : 10/05/2010. Durée : 1h30.
Documents autorisés : notes de cours.
(le sujet comporte 2 pages)
Exercice 1 – On considère la matrice 3×3suivante :
M =
1 1 1 1 5 5 1 5 14
.
1) Montrer que M est symétrique définie positive.
2) Déterminer la décomposition de Cholesky de M.
3) Quelle est la décomposition LU deM? 4) Calculer l’inverse deM.
5) On considère le système (S) : AX = B, où X ∈ R3 et où A ∈ M4,3(R) et B ∈R4 sont respectivement définis par
A=
1 −1 2 1 −1 −4
1 3 6
1 3 0
et B =
2
−5 11 3
.
Montrer que A est de rang 3 et que (S) n’a pas de solution.
6) On note k k la norme euclidienne de R3. À l’aide des questions précédentes, déterminer X0 ∈R3 vérifiant
kAX0−Bk= inf
X∈R3
kAX −Bk.
7) Soit n >2 un entier. On considère la matrice n×n suivante :
Sn =
f(1) f(1) f(1) · · · f(1) f(1) f(1) f(2) f(2) · · · f(2) f(2) f(1) f(2) f(3) · · · f(3) f(3)
... ... ... ... ... f(1) f(2) f(3) · · · f(n−1) f(n−1) f(1) f(2) f(3) · · · f(n−1) f(n)
,
où
f(i) = i(i+ 1)(2i+ 1)
6 .
Montrer que Sn est symétrique définie positive et déterminer sa décomposition de Cholesky.
Exercice 2 – On considère la matrice M =
a b 0 b a c 0 c a
,
où (a, b, c)∈R3.
1)À quelles conditions sura,betc,M est-elle inversible ? On supposera désormais que ces conditions sont remplies.
2) Calculer les matrices de Jacobi et de Gauss-Seidel associées àM.
3) Montrer que la méthode de Gauss-Seidel converge si et seulement si celle de Jacobi converge aussi.
4) En cas de convergence simultanée, quelle est la méthode la plus rapide ?
