Les 4 questions sont indépendantes

Contrôle n˚6 page 1 de 1

Contrôle n˚6

Durée : 4 heures. Calculatrices autorisées

I) 6 points

Les 4 questions sont indépendantes

1. Soit u la suite définie par u

= −10 et u

= u

4 + 3n

2 − 1 pour n ∈ N Démontrer que, pour tout n > 2, 2n − 5 6 u

.

Déterminer la limite de u

2. Soit θ un réel , et z = (1 + e

)

e

.

Démontrer que z est un réel positif ou nul.

En déduire l’argument de 1 + 6e

+ 15e

+ 20e

+ 15e

+ 6e

+ e

lorsque θ = π

8

3. On dispose d’un dé et d’une urne contenant 10 boules rouges et 3 boules vertes.

On lance le dé. Si on obtient un 6, on tire simultanément 3 boules dans l’urne.

Sinon, on tire simultanément 2 boules dans l’urne.

Quelle est la probabilité que le nombre de boules rouges obtenu soit égal à 2 ? 4. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e

− x

+ x

Déterminer son sens de variation et ses limites en −∞ et +∞.

II) 5 points

Soit n un entier naturel non nul. On pose f

(x) = ln(1 + x

) et I

= Z

0

f

(x) dx 1. Calcul de I

à l’aide de deux méthodes différentes :

a) On pose g(x) = e

− 1.

Démontrer que g et f

sont deux fonctions réciproques et en déduire I

b) Calculer I

à l’aide d’une intégration par parties 2. a) Déterminer le sens de variation de la suite (I

).

b) Encadrer I

par deux constantes.

c) Démontrer que la suite (I

) est convergente.

3. a) Etudier le sens de variation puis le signe de la fonction h

: x 7→ f

(x) − x

sur [0; 1]

b) En déduire la limite de la suite (I

)

III) 4 points

Les deux questions sont indépendantes

1. On considère un lot de composants électroniques mis en service au même instant.

La durée de fonctionnement de chaque composant est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 2.

Au bout d’un an après la mise en service, on tire au hasard et avec remise 10 composants dans le lot. Quelle est la probabilité pour qu’au plus deux d’entre eux ne soient plus en état de fonctionnement ? (on demande seulement la formule de calcul, pas la valeur numérique)

2. a) Démontrer que, pour tout entier n > 2, 1

2 + 1

3 + · · · + 1 n 6

Z

1

1

x dx 6 1 1 + 1

2 + · · · + 1 n − 1

On écrira d’abord un encadrement sur [k; k + 1] pour k entier.

b) Soit u

= 1 1 + 1

2 + · · · + 1

n . pour n > 1 Comparer u

avec ln(n) + 1 et ln(n) + 1

n . En déduire la limite de u

c) En utilisant le même type d’encadrement avec Z

1

1 x √

x dx , démontrer que la suite v

= 1

√ 1 + 1 2 √

2 + · · · + 1 n √

n est convergente

IV) Spécialité (5 points)

Voir feuille suivante. Traiter l’exercice sur une copie séparée.