Le symbole ∗ signale les questions plus subtiles ou plus longues. Les questions de type

2017-2018 Topologie A – UGA

Examen Seconde Session

Juin 2018

Les probl` emes sont ind´ ependants. S’il est conseill´ e, au sein d’un probl` eme, de traiter les questions dans l’ordre, il est ´ egalement possible de passer des questions et d’admettre leurs r´ esultats dans les questions suivantes. Il est ´ egalement possible (voire encourag´ e) d’abr´ eger une r´ eponse s’il s’av` ere qu’elle est tr` es similaire ` a une r´ eponse d´ etaill´ ee ant´ erieu- rement.

Le symbole ∗ signale les questions plus subtiles ou plus longues. Les questions de type

“cours” ne servent pas n´ ecessairement ` a r´ esoudre les questions qu’elles pr´ ec` edent.

La clart´ e de la r´ edaction sera d´ eterminante dans la notation.

Bar` eme indicatif. exercice 1 : 7 points, exercice 2 : 8 points, exercice 3 : 5 points.

Dans tout le sujet, les R -espaces vectoriels de dimension finie sont munis de leur topologie usuelle d’espace vectoriel norm´ e, ind´ ependante de la norme.

On rappelle que C est un R -espace vectoriel de dimension 2 qui s’identifie canonique- ment ` a R

(en identifiant, pour tout x, y ∈ R , x + iy ∈ C ` a (x, y) ∈ R

), et qui admet pour norme le module complexe | · | (notamment), qui s’identifie ` a la norme k · k

sur R

. On pourra utiliser librement (mais soigneusement) ces identifications dans la suite.

On admet ´ egalement que toute application continue de [0, 1] dans C \ {0} est de la forme t 7→ r(t)e

avec r : [0, 1] → R

et θ : [0, 1] → R continues.

Exercice 1 : Sous-groupes de R et de S

On admet dans cet exercice que tout sous-groupe de ( R , +) est soit monog` ene (de la forme β Z avec β ∈ R ) soit dense dans R .

1. (a) Rappeler la d´ efinition de point int´ erieur ` a une partie d’un espace topologique.

(b) Justifier que tout sous-ensemble d’un ensemble d´ enombrable est d´ enombrable.

(c) Justifier que tout sous-ensemble d´ enombrable de R est d’int´ erieur vide dans R . 2. Montrer que tout sous-groupe monog` ene non r´ eduit ` a {0} de ( R , +) est un ferm´ e

de R non compact, d’int´ erieur vide.

3. (a) Rappeler la d´ efinition d’un sous-ensemble dense d’un espace topologique.

(b) Justifier, ` a l’aide du r´ esultat admis dans l’´ enonc´ e, que si α ∈ R \ Q , Z + α Z est dense dans R .

4. Toujours pour α ∈ R \ Q , Z + α Z est-il un ensemble d´ enombrable ? Un ferm´ e de R ? Un ouvert ?

On consid` ere l’application p : R → S

= {z ∈ C : |z| = 1} par p(x) = e

= cos(2πx) + i sin(2πx) pour tout x ∈ R . On admet qu’elle d´ efinit un morphisme de groupes surjectif (mais non injectif) de ( R , +) dans ( S

, ×), continu pour les topologies usuelles.

On s’int´ eresse

5. L’application p

induit-elle un hom´ eomorphisme de [0, 1[ dans S

(munis des topologies induites correspondantes)?

6. Montrer que si f : (X, d

) → (Y, d

) est une application continue et surjective d’un espace m´ etrique dans un autre, l’image de tout sous-ensemble dense A de (X, d

) est dense dans (Y, d

). Cela reste-t-il vrai si l’on enl` eve l’hypoth` ese de continuit´ e ? de surjectivit´ e ?

7. Montrer que le sous-groupe monog` ene O

:= {e

, n ∈ Z } de S

est – une partie compacte de S

si α ∈ Q ;

– dense dans S

si α ∈ R \ Q . (On pourra utiliser l’´ etude des sous-groupes de R ).

Quel est son int´ erieur dans chacun des cas ?

On consid` ere maintenant dans C ' R

le sous-ensemble C

:= ∪

R

z, r´ eunion des demi-droites issues de l’origine et passant par un point z de O

.

8.

D´ eterminer l’int´ erieur et l’adh´ erence de cet ensemble.

9.

Montrer que C

est connexe par arcs, mais que C

\ {0} ne l’est pas. Quelles sont ses composantes connexes par arcs ?

Exercice 2 : Un espace de suites

Soit S

l’espace vectoriel des suites u = (u

)

de nombres r´ eels telles que lim

n→+∞

u

= 0.

Pour tout u = (u

)

∈ R

, on pose kuk

= sup

|u

| ∈ R

∪ {+∞}.

I. 1. D´ emontrer soigneusement que k · k

d´ efinit une norme sur S

. 2. La boule unit´ e ferm´ ee de (S

, k · k

) est-elle compacte ?

3. Rappeler la d´ efinition d’un espace m´ etrique complet et d’un espace de Banach.

4.

D´ emontrer que (S

, k · k

) est un espace de Banach. (On pourra ´ eventuellement se rappeler qu’une suite r´ eelle est une fonction de

dans

l’espace des fonctions born´ ees d’un ensemble dans

, muni de la norme uniforme, est un espace de Banach).

5. Soit

l’espace vectoriel des suites

= (v

)

de nombres r´ eels, nulles ` a partir d’un certain rang (c’est-` a dire,

s’il existe

(d´ ependant de

= 0 pour tout

).

(a) D´ emontrer que

est un sous-espace vectoriel dense de l’espace vectoriel norm´ e (S

).

(b) L’espace

muni de la norme induite par

est-il complet ?

II. Soit a = (a

)

une suite de nombres r´ eels. Pour tout ´ el´ ement u de S

, on note T

(u) la suite de r´ eels d´ efinie par (T

(u))

= a

u

pour tout n ∈ N .

1. Montrer que T

(u) ∈ S

pour tout u ∈ S

si et seulement si la suite a = (a

)

est

born´ ee.

On suppose dans toute la suite que a = (a

)

est born´ ee, on note T

: (S

, k k

) → (S

, k · k

) l’application ainsi d´ efinie et on d´ efinit, pour tout u ∈ S

, kuk

= kT

(u)k

.

2. Montrer que T

est une application lin´ eaire continue. Calculer sa norme

T

subordonn´ ee ` a la norme k · k

sur S

.

3. Sous quelle condition n´ ecessaire et suffisante sur a l’application T

est-elle injective ? 4. Montrer que si a ne s’annule pas, son image est dense dans S

(on pourra utiliser I.4).

5. Sous quelle condition n´ ecessaire et suffisante sur T

l’application k · k

: S

→ R

est-elle une norme ? 6. Montrer que si inf

n∈N

|a

| 6= 0, alors T

est surjective (on pourra commencer par ob- server qu’elle est injective, et exprimer l’inverse explicitement).

7.

R´ eciproquement, montrer que si T

est surjective, alors inf

n∈N

|a

| 6= 0.

8. On suppose T

bijective. Montrer qu’elle d´ efinit un hom´ eomorphisme de (S

, k · k

) dans lui-mˆ eme et que les normes k · k

et k · k

sont ´ equivalentes.

Exercice 3 : Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz lin´ eaire

(ATTENTION ! L’objet de ce probl` eme ´ etant de d´ emontrer le-dit th´ eor` eme (´ enonc´ e ci-apr` es), il ne doit bien sˆ ur pas ˆ etre suppos´ e connu. De la mˆ eme fa¸ con, dans la premi` ere partie, on ne suppose pas connue la fonction exponentielle.)

Partie I : Un cas particulier

Soit b un r´ eel positif et (E, k·k

) l’espace des fonctions continues sur l’intervalle [0, b] ` a valeurs r´ eelles, muni de la norme uniforme. On admet qu’il s’agit d’un espace de Banach.

Soit T l’application de E dans E d´ efinie par:

∀y ∈ E, ∀t ∈ [0, b], (T (y))(t) = 1 + Z

0

y(s) ds.

1. Justifier que l’on a bien T (y) ∈ E si y ∈ E et montrer que l’application T est lips- chitzienne de (E, k · k

) dans lui-mˆ eme (on fournira une constante de Lipschitz).

2. ´ Enoncer le th´ eor` eme du point fixe de Banach-Picard (sous sa forme compl` ete, incluant le comportement des orbites).

3. On suppose d´ esormais b < 1. Justifier qu’il existe une fonction y unique dans E telle que T (y) = y. Que dire de la convergence de (T

(z))

dans (E, k · k

), pour tout z ∈ E ?

4. En d´ eduire qu’il existe une unique fonction y d´ erivable sur [0, b] telle que y(0) = 1 et y

= y, et qu’elle est limite uniforme sur [0, b] de la suite constitu´ ee des fonctions polynomiales P

: t 7→ P

j=0 t^j

j!

, n ∈ N .

Partie II : Th´ eor` eme g´ en´ eral

Soit k ∈ N

. Le but de cette partie est de d´ emontrer le th´ eor` eme suivant (o` u R

est muni d’une norme k · k quelconque, et M

( R ) de la norme subordonn´ ee ||| · ||| associ´ ee) : Th´ eor` eme (Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz lin´ eaire.). Soit I un intervalle de R , A : I → M

( R ) et B : I → R

des applications continues et (t

, y

) ∈ I × R

. Alors le probl` eme de Cauchy

(∗)

y

(t) = A(t) · y(t) + B(t) y(t

) = y

admet une unique solution y : I → R

.

1. On se restreint pour l’instant au cas I = [a, b] avec a < b ∈ R . E d´ esigne dor´ enavant l’ensemble des fonctions continues de I dans R

et, pour y ∈ E, on note kyk

= sup

ky(t)k (la partie pr´ ec´ edente traite donc du cas particulier k = 1, k · k = | · |, a = 0 et b > 0). On admet ` a nouveau que (E, k · k

) est un espace de Banach.

Avec les notations du th´ eor` eme, on d´ efinit

T : E → E

y 7→ T (y) : t ∈ [a, b] 7→ y

+ R

t0

(A(s) · y(s) + B(s))ds

(on admet que la d´ efinition et les propri´ et´ es de l’int´ egrale de Riemann des fonctions ` a valeurs r´ eelles se transposent de fa¸con quasi-identique aux fonctions ` a valeurs vecto- rielles).

(a) Justifier que T est bien d´ efinie.

(b) Justifier que y : I → R

est solution de (∗) si et seulement si y est un point fixe de T .

(c) Justifier qu’il existe C > 0 tel que pour tout v ∈ R

et tout t ∈ [a, b], kA(t) · vk ≤ Ckvk.

(d) Montrer que T est lipschitzienne de rapport C(b − a). Peut-on conclure quant ` a l’existence d’une solution de (∗) ?

On admet la g´ en´ eralisation suivante du th´ eor` eme de Banach-Picard : Soit (X, d) un espace m´ etrique complet et f : X → X telle qu’il existe p ∈ N

tel que f

soit contrac- tante. Alors f admet un unique point fixe.

(e) Montrer que T

est

-lipschitzienne (on pourra commencer par majorer, pour y, z ∈ E, kT

(y)(t) − T

(z)(t)k en fonction de t ∈ [a, b], p ∈ N et ky − zk

,

`

a l’aide d’une r´ ecurrence). Conclure.

2. D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede le th´ eor` eme dans le cas d’un intervalle I quelconque (que

l’on pourra ´ ecrire judicieusement comme une r´ eunion de segments).