Cahier de texte

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Cahier de texte

Semaine 32 (du 16 au 20 juin)

Lundi 16 juin : Cours (3h)

Suite et fin chapitre 15 ^≪Limite et continuit´e^≫

• Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

• Extrema d’une fonction continue sur un segment.

• Th´eor`eme de la bijection.

D´ebut du chapitre 16 ^≪Espaces vectoriels^≫

• D´efinition d’unK-espace vectoriel.

• Quelques cons´equences des axiomes deK-espace vectoriel (e.g. si (E,+, .) est unK-espace vectoriel et si uest un vecteur de E, alors−u= (−1^K).u).

• R´esolution d’une ´equation affine dans unK-espace vectoriel.

• Exemples deK-espaces vectoriels

— LeR-espace vectoriel−→

P des vecteurs du plan.

— LeK-espace vectorielKⁿ, oun∈N^∗.

— LeK-espace vectorielK^Ω=F(Ω,K) des applications d’un ensemble Ω dansK.

— LeK-espace vectorielK^Ndes suites d’´el´ements deKindic´ees parN.

— LeK-espace vectorielMn,p(K) des matrices `a coefficients dansKde formatn×po`u n, p∈N^∗.

— LeK-espace vectorielK[X] des polynˆomes `a coefficients dansK.

• D´efinition d’un sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel (contenir le vecteur nul, ˆetre stable par addition et ˆetre stable par multiplication par un scalaire).

• Un crit`ere pour ˆetre un sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel (ˆetre non vide et ˆetre stable par combinaison lin´eaire).

Devoirs

• R´esoudre l’exercice 207 de la feuille de TD n˚22 ^≪Limites et continuit´e^≫.

Lundi 16 juin : TD (1h)

Feuille de TD n˚21 ^≪Probabilit´es^≫

• Correction des exercices 198 et 200.

Mardi 17 juin : Cours (1h45)

Suite du chapitre 16 ^≪Espaces vectoriels^≫

• Structure de l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire homog`ene.

• Un sous-espace vectoriel d’unK-espace vectoriel poss`ede une structure canonique deK-espace vectoriel.

• L’intersection d’une famille de sous-espace vectoriels d’unK-espace vectorielE est un sous-espace vec- toriel deE.

• Sous-espace vectoriel engendr´e par une partie d’unK-espace vectoriel.

Devoirs

• R´esoudre les exercices 209, 210 et 214 de la feuille de TD n˚22 ^≪Limites et continuit´e^≫.

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Mardi 17 juin : TD (15’)

Feuille de TD n˚22 ^≪Limites et continuit´e^≫

• Correction de l’exercice 207.

Jeudi 19 juin : Cours (2h45)

Suite du chapitre 16 ^≪Espaces vectoriels^≫

• Description du sous-espace vectoriel engendr´e par une partie finie d’unK-espace vectoriel en termes de combinaisons lin´eaires.

• D´efinition de la somme de deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel.

• Description de la somme de deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel, tous deux engendr´es par une partie finie.

• D´efinition du caract`ere direct de la somme deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel.

• Crit`ere pour qu’une somme de deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel soit directe.

• D´efinition de deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans unK-espace vectoriel.

• Crit`ere pour que deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel soient suppl´ementaires.

Jeudi 19 juin : TD (15’)

Feuille de TD n˚22 ^≪Limites et continuit´e^≫

• Correction de l’exercice 214.

Vendredi 20 juin : Cours (45’)

Suite et fin du chapitre 16 ^≪Espaces vectoriels^≫

• D´etermination de suppl´ementaires du sous-espace vectoriel{(x, y, z)∈R³|x+y+z= 0}deR³.

• Existence d’un suppl´ementaire pour un sous-espace vectoriel d’unK-espace vectoriel.

Vendredi 20 juin : TD (15’)

Feuille de TD n˚23 ^≪Espaces vectoriels^≫

• R´esolution des questions 1 et 2 de l’exercice 217.

Devoirs

• R´esoudre l’exercice 215 de la feuille de TD n˚22 ^≪Limites et continuit´e^≫.

• R´esoudre la fin de l’exercice 217 et les exercices 218, 219, 221 et 223 de la feuille de TD n˚23 ^≪Espaces vectoriels^≫.

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