Chapitre 11 : Droites du plan et systèmes linéaires
I-Droites du plan:
Définition 1 : Soit D une droite. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur u non nul de même direction queAB où A et B sont deux points distincts de D.
Interprétation graphique :
Propriétés 1 :
a . Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation du type x=k où k est un nombre réel.
b . Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation du type y=m xp où m et p sont deux nombres réels.
m s'appelle le coefficient directeur p s'appelle l'ordonnée à l'origine.
Démonstration :
Exemples de tracé de droites :
Tracer les droites D1 , D2 , D3 et D4dont les équations sont respectivement : D1: y=2x−1; D2: y=−3x2; D3: y=4; D1: x=4;
Théorème 1 : Soient A et B deux points de coordonnées respectivesxA, yAetxB, yBtels que xA≠xB. alors la droite (AB) admet une équation du type y=m xp avec m=yB−yA
xB−xA Démonstration :
Exemples :
Soient quatre points A, B, C et D de coordonnées A1;2;B4;−1;C1;4 et E3;−1
Déterminer les équations des droites (AB), (AC), (AE) et (BE).
Théorème 2 : L'ensemble des points M(x , y) tels que axby=c, avec a, b et c réels tels que a et b ne sont pas simultanément nuls, est une droite de vecteur directeur v−b ; a.
Démonstration :
Théorème 3 : Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Démonstration :
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II-Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues
On considère le système (S)
' ' '
a x b y c a x b y c
+ =
+ =
Résoudre le système (S), c’est trouver tous les couples (x ; y) vérifiant à la fois les deux équations.
1. Analyse graphique
On considère la droite d d’équation a xb y=cet la droite d 'd’équation a ' xb' y=c'. D'après le théorème 2. résoudre le système revient à déterminer l'ensemble des points Mx ; y
appartenant à chacune des deux droites d et d '. Trois cas sont à envisager :
1. les droites (d) et (d')sont sécantes au point A(x0;y0)
le système (S) a une seule solution à savoir le couple (x;y)= (x0;y0) ; 2. les droites (d) et (d')sont strictement parallèles
le système (S) n’a pas de solution ; 3. les droites (d) et (d')sont confondues
le système (S) a une infinité de solutions.
Remarque :
d admet pour vecteur directeur le vecteur u−b ; a.
d ' admet pour vecteur directeur le vecteur v−b' ; a '. D'après le théorème 3. du chapitre 9
) ' //(
)
(d d équivaut à detu ;v=0 ce qui équivaut à
∣
−ba −b 'a '∣
=0 c’est-à-dire ab'−a'b= 0 ce qui équivaut à∣
a ' b 'a b∣
=0 .A
x0
y0
(d) O
(d’)
(d’) (d)
O
(d’) (d)
O 0
' '−ab≠
ab ab'−a'b = 0 ab'−a'b= 0
Déterminant du système :
Définition 2 : Le déterminant du système (S) est le nombre ab'−a'b noté
' ' b a
b
a .
Théorème 4 :
Si le déterminant du système (S) est non nul alors le système (S) admet un seul couple solution.
Si le déterminant du système (S) est nul alors le système (S) admet : - soit aucun couple solution ;
- soit une infinité de couples solution.
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2. Résolution algébrique
a. Méthode par substitution Résoudre le système (S)
−
= +
−
= +
11 2
3
5 2
y x
y
x .
det = 2 2 1 ( 3) 7
2 3
1
2 = × − × − =
− ; det ≠ 0 donc le système (S) admet un unique couple solution.
−
= +
−
= +
11 2
3
5 2
y x
y
x équivaut à
2. Méthode par combinaison linéaire Ex 1 : Résoudre le système (S1)
= +
= +
7 6 4
6 2 5
y x
y x
det = =
Ex 2 : Résoudre le système (S2)
= +
=
−
0 4 5
1 3 2
y x
y x
det = =
Ex 3 : Résoudre le système (S3)
2(3 1) 3 8
3 1
3 2 1
x y
x y x
− = −
− +
+ =
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