HX4 — Contrˆole 1994/02
Exercice 1
Q1 Question de cours : ´etablissez la convergence de la suite de r´eels (Sn)n>1d´efinie parSn = P
16k6n
k−2. Notant ℓsa limite, prouvez que 54 < ℓ62.
Exercice 2
Q1 ´Etudiez l’applicationf : x∈R7→arccos
r1 + sinx
2 −arcsin
r1 + cosx
2 et tracez sa courbe repr´esentative.
Q2 Calculez Z π
0
f(t)dt.
Exercice 3
◮Pourn>1, notonssn= X
16k6n
√1
k,un = sn
√n et vn=sn−2√ n.
Q1 Pourn>1, prouvez l’in´egalit´esn6√ n+√
n−1. Pour quelle(s) valeur(s) dena-t-on l’´egalit´e ? Q2 Prouvez que la suite (un)n>1est croissante. Remarque: il existe au moins deux m´ethodes diff´erentes.
Q3 En d´eduire la convergence de cette suite.
Q4 ´Etablissez l’in´egalit´e 2√
n+ 1−26sn pourn>1. Remarque: il existe au moins deux m´ethodes diff´erentes.
Q5 Prouvez que la suite (vn)n>1 est d´ecroissante, puis qu’elle converge.
Q6 Exhibez une suite (wn)n>1de r´eels telle que sn
wn −−−→n→∞ 1, l’expression du terme g´en´eralwn´etanttr`es simple.
Tournez S.V.P.
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Exercice 4
◮Nous nous proposons de d´ecrire une m´ethode pour ´evaluer arctanx, avecxr´eel quelconque.
Q1 Montrez qu’il suffit de savoir traiter le cas 0< x <1.
Q2 Nous disposons d’une fonction Pascal d’en-tˆete :
1 function petitarctan(x:real):real);
qui ´evalue arctanxpour 0< x <1. R´edigez une fonction d’en-tˆete :
1 function arctan(x:real):real);
qui ´evalue arctanxpourxquelconque.
◮Nous examinons maintenant le cas o`uxest un r´eel hhpetitii. Q3 ´Etablissez la formule :
arctan(x) =x−x3 3 +
Z x
0
t4 1 +t2dt Q4 Notonsϕ(x) =x−x33. Prouvez l’in´egalit´e¯
¯arctan(x)−ϕ(x)¯
¯66·10−9pour toutxv´erifiant|x|62−5.
◮Dans la suite,xd´esigne un r´eel appartenant `a l’intervalle [0,1[.
Q5 Montrez qu’il existe un et un seul relatif k tel que, notant x′ = 2k+132 , on ait −321 6 x−x′ < 321. Vous expliciterez ken fonction dex, au moyen de la fonctionhhpartie enti`ereii.
Q6 Notons u = 1+xxx−x′′ et ak = arctan³2k+ 1 32
´. Prouvez la relation arctan(x) = ak+ arctan(u). Donnez un majorant de l’erreur commise lorsque l’on approche arctan(x) parak+ϕ(u).
Q7 Supposons connues les valeurs des ak pour k ∈ [[0,15]], avec une pr´ecision de 10−9; nous effectuons la d´eclaration :
1 var a:array[0..15] of real;
et, par un proc´ed´e que nous ne d´ecrirons pas ici en d´etail, nous avons fait en sorte que la valeur dea[k]soit ak pour tout k ∈[[0,15]]. R´edigez le corps de la fonction petitarctan, pour que celle-ci ´evalue arctan(x) avec une pr´ecision de 10−8.
[Contr^ole 1994/02] Compos´e le 7 mars 2008
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