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HAPITRE5 - D
IAGONALISATION DE MATRICESJulie Scholler - Bureau B246
novembre 2019
I. Valeurs propres et vecteurs propres
Soit A dans Mn,n(R) une matrice carrée.
Valeur propre de A
un réel λ tel qu’il existe un vecteur X non nul de Rn vérifiant AX = λX
Un tel vecteur est appelé vecteur propre de A pour la valeur propre λ.
Sous-espace propre associé à la valeur propre λ l’ensemble Eλ des vecteurs X de Rn vérifiant AX = λX
Eλ = Ker(A− λIn) Eλ est donc d’un sous-espace vectoriel de Rn.
Polynôme caractéristique de A polynôme de variable x défini par
PA(x) = det (A− xIn)
Théorème
λ est une valeur propre de A si et seulement si PA(λ) = 0
Proposition
A est inversible si et seulement si 0 n’est pas une valeur propre de A.
I. Valeurs propres et vecteurs propres
Exemples
A1 =
−1 8
1 1
A2 =
2 −1 2
−1 2 −2
−1 1 −1
A3 =
2 0 0
0 0 −1
0 1 0
A4 =
1 0 1 0 1 1 0 0 2
Remarque
Une matrice triangulaire a pour valeurs propres ses coefficients diagonaux.
II. Matrices diagonalisables
Soit A dans Mn,n(R) une matrice carrée.
Matrice diagonalisable
La matrice A est diagonalisable si et seulement s’il existe une matrice diagonale D de Mn,n(R) et une matrice inversible P de Mn,n(R) telles que
A = PDP−1 ⇐⇒ D = P−1AP
Proposition
Si A est diagonalisable, alors
• les coefficients diagonaux de D sont des valeurs propres de A
• les colonnes de P forment des vecteurs propres de A associés aux valeurs propres de A prises dans le même ordre.
II. Matrices diagonalisables
Soit A dans Mn,n(R) une matrice carrée.
Proposition
Si on peut construire une base de Rn formée de vecteurs propres de A, alors la matrice A est diagonalisable.
Proposition
On note λ1, . . . , λk ses k valeurs propres distinctes.
Si on a
k
X
i=1
dim (Ker(A− λkIn)) = n alors la matrice A est diagonalisable.
Exemples
• A1 =
−1 8
1 1
de valeurs propres 3 et −3
• A2 =
2 −1 2
−1 2 −2
−1 1 −1
de valeur propre 1
• A3 =
2 0 0
0 0 −1
0 1 0
de valeur propre (réelle) 2
• A4 =
1 0 1 0 1 1 0 0 2
de valeurs propres 2 et 1
II. Matrices diagonalisables
Remarques
Multiplicité d’une racine d’un polynôme
Soit P un polynôme tel qu’il existe un nombre a, un entier strictement positif m et un polynôme Q vérifiant
Q(a) 6= 0 et P(x) = (a − x)mQ(x)
m est appelé multiplicité de la racine a (pour le polynôme P).
Dimensions possibles d’un sous-espace propre
Soit A dans Mn,n(R) une matrice carrée, λi une de ses valeurs propres et mi la multiplicité de λi dans le polynôme caractéristique de A.
On a toujours
1 6 dim (Ker(A− λiIn)) 6 mi
II. Matrices diagonalisables
Cas particuliers de matrices diagonalisables
Soit A dans Mn,n(R) une matrice carrée.
Proposition
Si la matrice A admet n valeurs propres distinctes deux à deux, alors la matrice A est diagonalisable.
Proposition
Si la matrice A est symétrique, alors la matrice A est diagonalisable.
III. Applications
Calcul de puissances de matrices
Soit A dans Mn,n(R) une matrice diagonalisable telle que A = PDP−1
avec D une matrice diagonale.
Pour tout entier naturel n, on a alors
An = PD
In
z }| { P−1P D
In
z }| {
P−1P D· · ·
In
z }| {
P−1P DP−1
| {z }
n fois
= PDnP−1.
Système dynamique discret
un+1 = vn+1 = wn+1 =
un + wn vn + wn 2wn
IV. Dans C
Exemple en passant dans C
A3 =
2 0 0
0 0 −1
0 1 0
