ECE2-B 2017-2018
Inversion de matrices
Exercice 1. (☆)
Déterminer l’inverse des matrices suivantes.
1. A1=
1 1 3 0 1 4 0 0 2
2. A2=
2 6 3
1 5 3
4 24 16
3. A3=
3 −3 3
0 3 −3
−5 4 −2
4. A4=
1 −1 1
1 1 0
−2 −1 0
5. A5 =
3 −30 −2
−1 14 1 6 −63 −4
6. A6 =
3 2 12
−1 0 −10 0 3 −21
7. A7 =
1 −30 0
−1 33 1 1 −29 2
Démonstration.
1. On applique l’algorithme du pivot de Gauss.
Notons que la matrice A1 est triangulaire supérieure à cœfficients diago- naux tous non nuls. Elle est donc inversible.
1 1 3 0 1 4 0 0 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On effectue les opérations
L1←2L1−3L3
L2←L2−2L3 . On obtient :
2 2 0 0 1 0 0 0 2
2 0 −3 0 1 −2 0 0 1
On effectue les opérations
L1←L1−2L2 . On obtient :
2 0 0 0 1 0 0 0 2
2 −2 1
0 1 −2
0 0 1
On effectue les opérations
L1←12L1
L3←12L3 . On obtient :
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 −1 12
0 1 −2
0 0 12
AinsiA1 est inversible et A−11 =
1 −1 12
0 1 −2
0 0 12
.
1
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2. On applique l’algorithme du pivot de Gauss.
2 6 3
1 5 3
4 24 16
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On effectue les opérations
L2←2L2−L1
L3←L3−2L1 . On obtient :
2 6 3
0 4 3
0 12 10
1 0 0
−1 2 0
−2 0 1
On effectue les opérations
L3←L3−3L2 . On obtient :
2 6 3 0 4 3 0 0 1
1 0 0
−1 2 0 1 −6 1
La réduite obtenue est triangulaire supérieure à cœfficients diagonaux tous non nuls. Elle est donc inversible et A2 est elle aussi inversible.
On effectue les opérations
L1←L1−3L3
L2←L2−3L3 . On obtient :
2 6 0 0 4 0 0 0 1
−2 18 −3
−4 20 −3
1 −6 1
On effectue les opérations
L1←2L1−3L2 . On obtient :
4 0 0 0 4 0 0 0 1
8 −24 3
−4 20 −3
1 −6 1
On effectue les opérations
L1←14L1
L2←14L2 . On obtient :
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 −6 34
−1 5 −34
1 −6 1
AinsiA2 est inversible etA−12 =
2 −6 34
−1 5 −34
1 −6 1
.
3. On applique l’algorithme du pivot de Gauss.
3 −3 3
0 3 −3
−5 4 −2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On effectue les opérations
L3←3L3+ 5L1 . On obtient :
3 −3 3
0 3 −3
0 −3 9
1 0 0 0 1 0 5 0 3
On effectue les opérations
L3←L3+L2 . On obtient :
3 −3 3
0 3 −3
0 0 6
1 0 0 0 1 0 5 1 3
La réduite obtenue est triangulaire supérieure à cœfficients diagonaux tous non nuls. Elle est donc inversible et A3 est elle aussi inversible.
On effectue les opérations
L1←2L1−L3
L2←2L2+L3 . On obtient :
6 −6 0
0 6 0
0 0 6
−3 −1 −3
5 3 3
5 1 3
On effectue les opérations
L1←L1+L2 . On obtient :
6 0 0 0 6 0 0 0 6
2 2 0 5 3 3 5 1 3
On effectue enfin les opérations
L1←16L1 L2←16L2 L3←16L3
.
AinsiA3 est inversible etA−13 = 1 6
2 2 0 5 3 3 5 1 3
.
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4. On applique l’algorithme du pivot de Gauss.
1 −1 1
1 1 0
−2 −1 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On effectue les opérations
L2←L2−L1
L3←L3+ 2L1 . On obtient :
1 −1 1 0 2 −1 0 −3 2
1 0 0
−1 1 0 2 0 1
On effectue les opérations
L3←2L3+ 3L2 . On obtient :
1 −1 1 0 2 −1
0 0 1
1 0 0
−1 1 0 1 3 2
La réduite obtenue est triangulaire supérieure à cœfficients diagonaux tous non nuls. Elle est donc inversible et A4 est elle aussi inversible.
On effectue les opérations
L1←L1−L3
L2←L2+L3 . On obtient :
1 −1 0
0 2 0
0 0 1
0 −3 −2
0 4 2
1 3 2
On effectue les opérations
L1←2L1+L2 . On obtient :
2 0 0 0 2 0 0 0 1
0 −2 −2
0 4 2
1 3 2
On effectue les opérations
L1←12L1
L2←12L2 . On obtient :
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 −1 −1
0 2 1
1 3 2
Ainsi A4 est inversible et A−14 =
0 −1 −1
0 2 1
1 3 2
.
5. On applique l’algorithme du pivot de Gauss.
3 −30 −2
−1 14 1 6 −63 −4
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On effectue les opérations
L2←3L2+L1
L3←L3−2L1 . On obtient :
3 −30 −2
0 12 1
0 −3 0
1 0 0 1 3 0
−2 0 1
On effectue les opérations
L3←4L3+L2 . On obtient :
3 −30 −2
0 12 1
0 0 1
1 0 0 1 3 0
−7 3 4
La réduite obtenue est triangulaire supérieure à cœfficients diagonaux tous non nuls. Elle est donc inversible et A5 est elle aussi inversible.
On effectue les opérations
L1←L1+ 2L3 L2←L2−L3
. On obtient :
3 −30 0 0 12 0
0 0 1
−13 6 8 8 0 −4
−7 3 4
On effectue les opérations
L1←2L1+ 5L2 . On obtient :
6 0 0 0 12 0 0 0 1
14 12 −4
8 0 −4
−7 3 4
On effectue les opérations
L1←16L1
L2←121L2 . On obtient :
1 0 0 0 1 0 0 0 1
7
3 2 −23
2
3 0 −13
−7 3 4
Ainsi A5 est inversible et A−15 =
7
3 2 −23
2
3 0 −13
−7 3 4
.
3
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6. On applique l’algorithme du pivot de Gauss.
3 2 12
−1 0 −10 0 3 −21
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On effectue les opérations
L2←3L2+L1 . On obtient :
3 2 12 0 2 −18 0 3 −21
1 0 0 1 3 0 0 0 1
On effectue les opérations
L3←2L3−3L2 . On obtient :
3 2 12 0 2 −18 0 0 12
1 0 0
1 3 0
−3 −9 2
La réduite obtenue est triangulaire supérieure à cœfficients diagonaux tous non nuls. Elle est donc inversible et A6 est elle aussi inversible.
On effectue les opérations
L1←L1−3L3
L2←2L2+ 3L3 . On obtient :
3 2 0 0 4 0 0 0 12
4 9 −2
−7 −21 6
−3 −9 2
On effectue les opérations
L1←2L1−L2 . On obtient :
6 0 0 0 4 0 0 0 12
15 39 −10
−7 −21 6
−3 −9 2
On effectue enfin les opérations
L1←16L1 L1←14L1 L2←121L2
.
AinsiA6 est inversible etA−16 = 1 12
30 78 −20
−21 −63 18
−3 −9 2
.
7. On applique l’algorithme du pivot de Gauss.
1 −30 0
−1 33 1 1 −29 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On effectue les opérations
L2←L2+L1
L3←L3−L1 . On obtient :
1 −30 0
0 3 1
0 1 2
1 0 0 1 1 0
−1 0 1
On effectue les opérations
L3←L3−L2 . On obtient :
1 −30 0
0 3 1
0 0 5
1 0 0
1 1 0
−4 −1 3
La réduite obtenue est triangulaire supérieure à cœfficients diagonaux tous non nuls. Elle est donc inversible et A7 est elle aussi inversible.
On effectue les opérations
L2←5L2−L3 . On obtient :
1 −30 0 0 15 0
0 0 5
1 0 0
9 6 −3
−4 −1 3
On effectue les opérations
L1←L1+ 2L2 . On obtient :
1 0 0 0 15 0 0 0 5
19 12 −6
9 6 −3
−4 −1 3
On effectue les opérations
L2←151L2
L3←15L3 . On obtient :
1 0 0 0 1 0 0 0 1
19 12 −6
3 5
2 5 −15
−45 −15 35
AinsiA7 est inversible etA−17 =
19 12 −6
3 5
2 5 −15
−45 −15 35
.
4
