MIPI23-diago

UPMC 1M002 Suites, int´ egrales, alg` ebre lin´ eaire 2013-2014

MIPI 23 R´ eduction des endomorphismes. Applications

Les exercices sans(∗)sont des applications directes du cours. Les exercices marqu´es(∗)sont un peu plus difficiles, mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les ´evaluations.

Dans tout ce qui suit,Kd´esigne un corps.

Exercice 1(Matrice compagnon pourn= 2). SoitP =T²−aT−b∈K[T]et soitA= 0 1

b a

∈M2(K).

1. D´eterminer le polynˆome caract´eristique P_A(T) = d´et(A−T I₂). (La matrice A est appel´ee la matrice compagnon deP.)

2. Soitαune racine de P dans K. D´eterminer l’espace propreVα={X ∈K² |AX =αX} et donner un vecteurvα∈Vαde la forme vα=

1 y

.

3. Montrer que Aest diagonalisable si et seulement siP a dans Kdeux racines distinctesαet β. Donner dans ce cas une baseC deK²form´ee de vecteurs propres comme `a la question pr´ec´edente.

4. ´Ecrire la matrice de passageQ= MatB(C), o`u Bd´esigne la base canonique deK², puis calculerQ⁻¹et D=Q⁻¹AQ.

5. Pour toutn∈N^∗, exprimerAⁿ en fonction deQetDⁿ, puis calculer explicitementAⁿ. Exercice 2. SoitA=

0 1 2 1

∈M2(R). On note Bla base canonique deR². 1. Calculez le polynˆome caract´eristiqueP_A(X).

2. Expliquez, sans calcul, pourquoiAest diagonalisable.

3. D´eterminez une base C = (v1, v2) de vecteurs propres, telle que la 1`ere coordonn´ee de v1 et de v2 soit

´egale `a 1.

4. ´Ecrivez la matrice de passageP = MatB(C)et calculezP⁻¹ainsi queD=P⁻¹AP. 5. Pour toutn∈N^∗, exprimerAⁿ en fonction deP etDⁿ, puis calculer explicitementAⁿ. On consid`ere la suite vectorielle(Un)n∈N`a valeurs dansR²d´efinie parU0=

1 1

etUn+1=AUn. 6. Pour toutn∈N^∗, exprimerUn en fonction de AetU0 puis calculer explicitementUn. Exercice 3 (Matrices stochastiques pour n = 2). Soit A =

1−b c b 1−c

∈ M2(R), o`u b et c sont dans l’intervalle ouvert]0,1[(de sorte que 1−b et1−cy sont aussi). (Une matriceB∈Mn(R)est dite stochastique si elle est `a coefficients≥0et si la somme des coefficients de chaque ligne vaut1. La matriceAest donc la transpos´ee d’une matrice stochastique.)

1. Montrer que1est valeur propre deA. D´eterminer l’espace propre associ´eV1= Ker(A−I2)et en donner un g´en´erateurv1=

x y

tel quex+y= 1.

2. Montrer queα= 1−b−c est valeur propre deA. D´eterminer l’espace propre associ´eV_α= Ker(A−αI₂) et en donner un g´en´erateurv₂de la forme

1 z

, avecz∈R.

3. On poseC= (v1, v2). ´Ecrire la matrice de passageP = MatB(C), o`uBd´esigne la base canonique deR², et calculerP⁻¹. Puis d´eterminer sans calculD=P⁻¹AP.

4. Pour tout n∈N^∗, exprimer Aⁿ en fonction deP et deDⁿ, puis calculer explicitement Aⁿ en fonction deb, cet αⁿ.

5. Montrer que|α|<1.

6. Soit U0 = x0

y0

∈ R² tel que x0+y0 = 1. Pour tout n ∈ N^∗, notons Un = xn

yn

le vecteur AⁿU0. D´eterminer lim

n→+∞U_n (i.e. d´eterminer lim

n→+∞x_n et lim

n→+∞y_n).

1

2013-2014 1M002 Suites, int´ egrales, alg` ebre lin´ eaire UPMC

Exercice 4. (∗)(Matrices compagnons) Soientnun entier≥2etP =Xⁿ−an−1Xⁿ⁻¹− · · · −a1X−a0∈K[X].

On consid`ere la matrice :

A=















0 1 0 · · · 0 ... . .. . .. . .. ... 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0 0 1 a0 a1 a2 · · · a_n−1















∈M_n(K)

(`a part la derni`ere ligne, les seuls coefficients non nuls sont ceux juste au-dessus de la diagonale, qui valent1).

1. ´Ecrire la matriceA−XIn. En ajoutant `a la premi`ere colonne des multiples appropri´es des autres colonnes, puis en d´eveloppant par rapport `a la 1`ere colonne, montrer que le polynˆome caract´eristiqueP_A(X)´egale (−1)ⁿP.

2. On suppose queµ∈Kest une racine deP. En r´esolvant le syst`emeAX =µX (ou en rempla¸cant dans le calcul pr´ec´edent X parµ), montrer que l’espace propre V_µ= Ker(A−µI_n) est de dimension1 et en donner un g´en´erateur.

3. Montrer queAest diagonalisable si et seulement siP anracines distinctes µ₁, . . . , µ_n dansK.

4. Si tel est le cas, donner une matriceQ∈GLn(K)telle queQ⁻¹AQsoit la matrice diagonaleD(µ₁, . . . , µ_n) de termes diagonauxµ₁, . . . , µ_n. (En d’autres termes : siud´esigne l’endomorphisme deKⁿdont la matrice dans la base canoniqueBestA, donner une baseC= (v1, . . . , vn)deKⁿo`u chaqueviest un vecteur propre pourµi, puis ´ecrire la matriceQ= MatB(C).)

Exercice 5. SoitA∈M₂(R). On cherche les fonctionsX :R→R²,t7→X(t) = x1(t)

x2(t)

de classeC^∞v´erifiant l’´equation diff´erentielle X⁰(t) =AX(t). On noteBla base canonique deR². On suppose qu’il existe une baseC deR²et λ, µ∈Rtels que, notantP = MatB(C)on ait :

P⁻¹AP = λ 0

0 µ

.

Pour toutt∈R, on noteY(t)le vecteur des coordonn´ees deX(t)dans la baseC.

1. ExprimerX(t)en fonction deP etY(t).

2. En ´ecrivant P⁻¹= a b

c d

et en calculantP⁻¹X(t), montrer queY⁰(t) =P⁻¹X⁰(t).

3. Montrer que l’on aY⁰(t) =DY(t)pour une matrice Dque l’on d´eterminera. En d´eduire l’expression de Y(t)en fonction deY(0) =

y1(0) y₂(0)

.

4. En d´eduire l’expression deX(t)en fonction de X(0) = x1(0)

x2(0)

.

Exercice 6. (∗) SoitA ∈M2(K). On suppose que A poss`ede une valeur propreλ∈ Kmais que A n’estpas diagonalisable. On noteul’endomorphisme deK² d´efini parA, etidl’application identique deK².

1. Montrer quePA(X) = (X−λ)(X−µ)pour un certainµ∈K, puis queµ=λ.

2. Montrer que le sous-espace vectorielE= Im(u−λid) deK² est stable paru. Quelle est sa dimension ? 3. En utilisant queun’est pas diagonalisable, montrer queE´egaleVλ= Ker(u−λid).

4. Soitv2∈K² tel quev26∈Vλ. On posev1 =u(v2)−λv2. Montrer queC= (v1, v2)est une famille libre, donc une base deK², puis ´ecrireMatC(u).

2