Exercices difficiles de mathématiques 1
èreS
Feuille 2
Exercice 1)
Si n est un entier, on appelle n ! (et on lit « factorielle n ») le produit n! = 1J2J3J..J(n – 1)Jn.
Par exemple 5! = 120.
Combien y a-t-il de zéros à la fin de 100! ?
Exercice 2) : une énigme classique
J’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez ; et quand vous aurez l’âge que j’ai, nous aurons ensemble 63 ans. Quels sont les âges ?
Exercice 3)
6 points du plan dont trois quelconques ne sont pas alignés sont reliés par des traits (il y a un trait entre chaque paire de points). Ces traits sont de couleur rouge ou bleue. Montrer qu’on peut trouver 3 de ces points formant un triangle d’une seule couleur. Pourrait-on le dire avec 5 points seulement ? Combien de points faudrait-il si on a trois couleurs ? Peut-on continuer ?
Exercice 4) : poignées de main
Dans une soirée, il y a un certain nombre de personnes. Certains se sont serré la main, mais tous n’ont pas forcément serré toutes les mains. Prouver que le nombre de personnes qui ont serré un nombre impair de mains est pair
Exercice 5) : poignées de main
Dans une soirée il y a 50 couples. Certaines personnes se sont serré la main, d’autres pas.
Personne ne serre sa propre main ni celle de son conjoint. On ne serre pas non plus deux fois le main de quelqu’un. Au cours de la soirée, un des participants décida, pour des raisons qui le concernent, de demander à chacun des autres combien de mains il avait serré. A sa grande surprise, il a obtenu des réponses toutes différents. Combien de mains a serré sa femme ?
Exercice 6) : la formule de Pick
Un ploygone a ses sommets sur les points d’un quadrillage. Une formule permet d’obtenir son aire en comptant les points à l’intérieur du quadrillage (I) et les points du bord (B). Pouvez- vous trouver cette formule (c’est déjà bien) et la prouver (c’est encore mieux) ?
