UPMC 1M002 Suites, int´ egrales, alg` ebre lin´ eaire 2013-2014
MIPI 23 Suites
Les exercices sans(∗)sont des applications directes du cours. Les exercices marqu´es(∗)sont un peu plus difficiles, mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les ´evaluations. Enfin, quelques exercices marqu´es(∗∗)peuvent ˆ
etre consid´er´es comme des«compl´ements de cours». Les ´evaluations ne comporteront pas d’exercices de ce type.
Exercice 1. Soitf : [0, π/2]→[0,1],x7→cos(x).
1. ´Etudier les variations def(x)−x. Montrer quef admet dans[0, π/2]un unique point fixec et qu’on a c < π/4(on rappelle que√
2'1,414).
Posonsδ= π
4 −cet soitI= [c−δ, c+δ] ={x∈R| |x−c| ≤δ}.
2. Montrer que pour tousx, y∈I on a|f(x)−f(y)| ≤(1/√
2)|x−y|.
3. En d´eduire quef(x)∈I pour toutx∈I.
4. Montrer que pour tout u0 ∈ I, la suite d´efinie par un+1 =f(un) v´erifie|un−c| ≤ (1/√
2)n|u0−c| et converge versc.
Exercice 2. Soitf :R+→R+,x7→(x2+ 2)/3. Pour toutu0∈R+, on consid`ere la suiteu= (un)n∈N d´efinie parun+1=f(un)pour toutn∈N.
1. Montrer quef est strictement croissante.
2. Montrer que la suite u est monotone. Pour quelles valeurs de u0 la suite u est-elle croissante ? resp.
d´ecroissante ?
3. Quelles sont les limites possibles pour la suite u? L’une de ces limites n’est-elle atteinte que pour un unique choix deu0?
4. PosonsI= [0,3/2]. D´eterminer l’intervallef(I)et montrer quef(I)⊂I.
5. D´eterminer un r´eelk∈]0,1[tel que pour tousx, y∈f(I)on ait|f(x)−f(y)|< k|x−y|.
6. ´Etudier la convergence de la suiteulorsqueu0= 0, resp.u0= 3.
7. En utilisant la question 2, ´etudier la convergence de la suiteulorsqueu0= 3/2.
8. Dessiner le graphe de f en prenant approximativement 2 cm comme unit´e de longueur sur chaque axe puis, dans chacun des trois cas pr´ec´edents, construire graphiquement les points u0, u1, u2, u3. (On ne demande pas de calculer leur valeur, mais simplement de construire ces points sur le graphe.)
Exercice 3. SoientI= ]−1,+∞[ etf :I→R,x7→√ x+ 1.
1. ´Etudier les variations def. D´eterminer l’intervallef(I)et montrer quef(I)⊂I.
Pour toutu0∈I, on consid`ere la suiteu= (un)n∈Nd´efinie parun+1=f(un)pour toutn∈N. 2. Pour quelles valeurs de u0 la suiteuest-elle croissante ? resp. d´ecroissante ?
3. D´eterminer un r´eel k∈]0,1[tel que pour tousx, y∈f(I)on ait|f(x)−f(y)|< k|x−y|.
4. Montrer quef admet dansIun unique point fixec, que l’on d´eterminera.
5. Siuconverge, quelles sont les limites possibles ? 6. ´Etudier la convergence lorsque u0< c, resp.u0> c.
Exercice 4. SoientI= ]−1,+∞[ etf :I→R,x7→ 2
x+ 1. On posef2=f◦f et f3=f◦f2. 1. ´Etudier les variations def. D´eterminer l’intervallef(I)et montrer quef(I)⊂I.
Pour toutu0∈I, on consid`ere et la suiteu= (un)n∈Nd´efinie parun+1=f(un)pour toutn∈N. 2. Montrer quef admet dansIun unique point fixec, que l’on d´eterminera.
3. D´eterminer les intervallesf2(I)et J =f3(I)et montrer quef(J)⊂J.
4. D´eterminer un r´eel k∈]0,1[tel que pour tousx, y∈J on ait|f(x)−f(y)|< k|x−y|.
5. Montrer que pour toutu0∈I, la suite u= (un)n∈Nconverge.
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Exercice 5. SoitN un entier≥2. On cherche `a approximer√
N au moyen d’une suiteuconvergeant vers√ N. 1. Appliquer la m´ethode de Newton `a la fonction f(x) =x2−N. Comment est d´efinie la suite r´ecurrente
un+1=g(un)ainsi obtenue ? 2. Dessiner le graphe def.
3. Quels sont les points de d´√ epartu0pour lesquels la m´ethode de Newton donne une suite qui converge vers N? resp. vers−√
N?
4. Pour toutx∈R, exprimerg(x)−√
N en fonction de x−√ N.
5. On suppose que√
N < u0<√
N+ 1. Montrer que pour toutn∈N, on a0< un+1−√
N <(un−√ N)2. 6. Comment trouver un tel point de d´epartu0?
7. (∗∗)Soitkun entier≥3. Mˆemes questions pour approximer k
√
N =N1/k.
Exercice 6. (∗) Soit R ∈ R+. En utilisant le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass, montrer que toute fonction continue sur le disque ferm´e{z∈C,|z| ≤R} et `a valeurs dansRest born´ee et atteint ses bornes.
Exercice 7. (**) On veut montrer que tout polynˆomeP ∈C[X] de degr´e d≥ 1 admet une racine dans C. NotonsP =
d
X
i=0
aiXi, avecad6= 0. Sia0= 0alorsP(0) = 0 donc dans ce qui suit on supposea06= 0.
1. Montrer que «|P(z)| tend vers l’infini quand |z| tend vers l’infini», c.-`a.-d. que pour tout A ∈ R+, il existeR >0 tel que si|z|> R, alors|P(z)|> A.
D’apr`es la question pr´ec´edente, il existeR >0tel que|P(z)|>|a0|pour toutztel que|z|> R. On noteD(0, R) le disque ferm´e de centre0 et de rayonR.
2. En utilisant l’exercice 6, montrer que la fonction D(0, R)→R+, z7→ |P(z)| atteint son minimumm en un pointz0 deD(0, R). Montrer de plus quem≤ |P(z)|pour toutz∈C.
On veut montrer que m = 0 i.e. que P(z0) = 0. Raisonnons par l’absurde et supposons que P(z0) 6= 0.
Rempla¸cant alors P par P/P(z0), on se ram`ene au cas o`u P(z0) = 1 = m. Rempla¸cant la variable z par u puis faisant le changement de variable z 7→ u−z0, c.-`a.-d., rempla¸cant le polynˆome P(u) par le polynˆome Q(z) =P(u−z0), on se ram`ene au cas o`uz0= 0. On a donc|P(z)| ≥ |P(0)|= 1 pour toutz∈C, et
P(0) = 1 +
d
X
j=1
bjzj = 1 +bkzk+· · ·+bdzd,
o`u l’on a not´ekle plus petit entierj≥1tel quebj6= 0. ´Ecrivonsbk=−reiθavecr∈R∗+etθ∈R. Consid´erons la fonctionf :R→C, t7→P(te−iθ/k).
3. En faisant un d´eveloppement limit´e `a l’ordrekdef(t)au voisinage det= 0, montrer qu’il existet0∈R∗+
que|f(t0)|=|P(t0e−iθ/k)|soit<1.
4. En d´eduire quem= 0et queP a une racine. On dit queCest un corps alg´ebriquement clos.
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