Mathématique : quelques exercices de révisions

Mathématique : quelques exercices de révisions

Factorisation et fractions algébriques

1. Factorise au maximum.

a) 3x15x² b) 25x²64 c) x²10x25 d) 3x³48x

e) x²3x10 f) 2x²8x8

g) x³5x2 h) x⁴81 i) 12x 9 4 ²x  j)3x



 





 



2. Pose les CE et simplifie les fractions suivantes :

a) ³

3 ²

x x x 

 b) ^{1 6 9 ²}

1 9 ²

x x

x

  

 c) ⁴

² 16 x x

 



3. Effectue les opérations suivantes (on considère les dénominateurs ≠ 0) : a) ^{x }









b) 5 4

2 2

x x

x  x 

 

c) ^{3 2}

2 3

x x

x x

   

 

d) ^{1 4 1}

2 x² 4 x 2 

 

e) ^{4 8} . ^{² 9}

² 6 9 2

x x

x x x

  

  

f) ³

𝑥²+2𝑥+1

:

2+2𝑥

=

g) ^{4 ² 8} . ²

³ 2 ² 2

x x x

x x x

  



h) ³ : ^{² 9}

² 6 9 3

x x

x x x

 

   

4. Résous les équations suivantes :

a) 4

3 2

4

3x  x g) 9x²1624x

b) 6 3

5 3 2

1 x x

 

 h)2x²320

c) 4

1 3 2

6 3

3

2x  x  x 

i) x²250

d)



 











e) x²7x0 k) 𝑥²− 7𝑥 − 18 = 0

f) ²

𝑥−3−¹

𝑥= ¹

𝑥²−3𝑥 l)









5. Résous les problèmes suivants :

a) Un carré dont le côté augmente de 2 cm voit son aire s'accroître de 16 cm².

Quelle est la valeur de son côté de départ ?

b) Trois nombres entiers consécutifs (qui se suivent) ont des carrés dont la somme fait 434. Quels sont-ils ?

c) Madame Annabelle Pelouse possède un terrain rectangulaire dont la longueur est le double de sa largeur. Ce terrain est constitué d’un très beau gazon entouré d’une allée.

1) Sachant que l’aire de l’allée est 368m², calcule la mesure exacte de la largeur du terrain.

2) Déduis-en, en m², les aires du terrain et de la partie recouverte de gazon.

d) Si on ajoute un certain nombre au numérateur de la fraction ¹²

5 et si on retire le même nombre au dénominateur, on obtient la fraction ₁₂⁵.

Quel est ce nombre ?

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Rappel :

Soit ABC un triangle rectangle en B

 Sinus d’un angle aigu :

𝑆𝑖𝑛 𝐴̂ = 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐴̂

𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

 Cosinus d’un angle aigu :

𝐶𝑜𝑠 𝐴̂ = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐴̂

𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

 Tangente d’un angle aigu:

𝑇𝑎𝑛 𝐴̂ = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐴̂

𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐴̂

Côté opposé à Â

Hypoténuse

Côté adjacent à Â

Complète les exercices suivants.

Pour chaque exercice, détaille tout ton raisonnement bien clairement : formule, développement et solution.

1. Utilise les formules pour trouver un côté

Voici des triangles rectangles, cherche à chaque fois le côté demandé.

a)

|AC| = ?

b)

| AB| = ?

c)

|BC|= ? A

B C

32°

50

A

B C

25° 10

A

B C

55°

5

2. Utilise tes formules pour trouver un angle a)

|𝐴̂|= ?

b) |𝐶̂|= ?

c)

|𝐶̂|= ? A

B C

21 40

A

B C

5 15

A

B C

4

12

3. Isole la variable x dans l'équation et trouve sa valeur a) sin(32°) =⁴

𝑥 ↔ x = ? b) cos(27°) =²⁰

𝑥 ↔ x = ? c) 𝑇𝑎𝑛(30°) = ^𝑥

12 ↔ x = ? d) cos(20°) =¹

𝑥 ↔ x = ?

4. Résous les problèmes a) Calcule la hauteur de la tour

b) Un bateau est ancré au large en P. Albert (en A) et Bertrand (en B) sont sur le rivage et ont relevé les informations suivantes :

AB= 100 m,

α = 30°,

𝑃̂ est un angle droit.

Calcule :

 la distance qui sépare Albert du bateau.

 La distance qui sépare Bertrand du bateau

Solutionnaire Factorisation et fractions algébriques

1. Factorise au maximum.

𝑎) 3𝑥 . (1 − 5𝑥) 𝑏) (5𝑥 + 8). (5𝑥 − 8) 𝑐) (𝑥 − 5)²

𝑑) 3𝑥 . (𝑥² − 16) = 3𝑥 . (𝑥 + 4). (𝑥 − 4)

𝑒) 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟 (𝑥 − 𝑎) (𝑥 + 2). (−𝑥 + 5) 𝑓) 2 . (𝑥²+ 4𝑥 + 4) = 2 . (𝑥 + 2)²

𝑔)𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟 (𝑥 − 𝑎) (𝑥 + 2) . (𝑥²− 2𝑥 − 1) ℎ) (𝑥² + 9). (𝑥 + 3). (𝑥 − 3)

𝑖)(2𝑥 − 3)²

𝑗)(𝑥 − 2). (3𝑥 − 4)

𝑘) 4𝑥² . (2𝑥 − 3) + (−3 + 2𝑥) = (2𝑥 − 3) . (4𝑥²+ 1

2. Pose les CE et simplifie les fractions suivantes :

𝑎) 𝐶. 𝐸. ∶ 3𝑥 + 𝑥² ≠ 0 𝑥 . (3 + 𝑥) ≠ 0 𝑥 ≠ 0 𝑥 ≠ −3

3𝑥

𝑥. (3 + 𝑥) = 3 3 + 𝑥

𝑏) 𝐶. 𝐸. ∶ 1 − 9𝑥² ≠ 0

(1 − 3𝑥). (1 + 3𝑥) ≠ 0 𝑥 ≠¹

3 𝑥 ≠⁻¹

3

(1 − 3𝑥)²

(1 + 3𝑥). (1 − 3𝑥)=(1 − 3𝑥) (1 + 3𝑥)

𝑐) 𝐶. 𝐸. : 𝑥²− 16 ≠ 0

(𝑥 + 4). (𝑥 − 4) ≠ 0 𝑥 ≠ −4 𝑥 ≠ 4

4 + 𝑥

(𝑥 + 4). (𝑥 − 4)= 1 𝑥 − 4

3. Effectue les opérations suivantes :

𝑎) 8 − 3𝑥 2𝑥. (𝑥 + 3) 𝑏) 9𝑥

𝑥 − 2

𝑐) −5

(𝑥 + 2). (𝑥 − 3) 𝑑)𝑥 − 1

𝑥 − 2

𝑒)4. (𝑥 + 3) (𝑥 − 3) 𝑓) 3

𝑥 + 1 𝑔)2. (𝑥 − 2)

𝑥²

ℎ) 1

(𝑥 + 3)²

4. Résous les équations suivantes : 𝑎) 𝑥 = 1

𝑏)𝑥 =−2 5 𝑐)𝑥 =51 2 𝑑) 𝑥 =2

3; 𝑥 = −5 𝑒)𝑥 = 0; 𝑥 = 7

𝑓) 𝐶. 𝐸. : 𝑥 ≠ 3; 𝑥 ≠ 0 𝑥 = −2

𝑔)𝑥 = −4 3

ℎ)𝑥 = 4 ; 𝑥 = −4 𝑖)𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑗)𝑥 = 3 ; 𝑥 =−3

2 𝑘)𝑥 = −2; 𝑥 = 9 𝑙)𝑥 =1

3; 𝑥 = 1 2

5. Résous les problèmes suivants :

a) Inconnue : 𝑥 , la longueur du carré de départ Equation : (𝑥 + 2)² = 𝑥²+ 16

Solution : la longueur du carré de départ est 3cm

b) Inconnue : 𝑥, 𝑙𝑒 1𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒, 𝑥 + 1, 𝑙𝑒 2è𝑚𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒, 𝑥 + 2, 𝑙𝑒 3è𝑚𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 Equation : 𝑥²+ (𝑥 + 1)²+ (𝑥 + 2)² = 434

Solution : les nombres sont 11,12 et 13 ou -11 ; -12 ; -13

c) Inconnue : x, la largeur du terrain et 2x, la longueur Equation :

Aire totale du terrain : 2x . x Aire des allées : 368 m²

Aire de la pelouse : (2x - 4) . (x - 4) Equation : 2x . x = (2x - 4) . (x - 4) + 368

Solution : la largeur du terrain est de 32m, la longueur, 64m

Aire totale du terrain : 2 048m², aire de la pelouse : 1 684 m² d) Inconnue : 𝑥, 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

Equation : ^12+𝑥

5−𝑥 = ⁵

12

Solution : le nombre est -7

Trigonométrie dans le triangle rectangle

1) a) |AC| = 94,35 b) |AB| = 9,06 c) |BC| = 3,50 2) a)|Â| = 58,33° b) |𝐶̂| = 19,47° c) | 𝐶̂ | = 18,43°

3) a) x = 7,55 b) x = 22,45 c) x = 6,93 d) x = 1,06 4) a) La hauteur de la tour est de 22,81 m

b) Albert est à 86,60 m du bateau et Bertrand est à 50 m