Exercices de révisions : Entrée en 1

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Lycée Maurice Ravel Juin 2018

Exercices de révisions : Entrée en 1

S

Ces exercices sont à faire pour la rentrée.

A) FONCTIONS

Exercice 1

1. Développer les expressions suivantes :

A(x) = (x – 3)(4x + 2) B(x) = (2x – 1)² + ( x – 3)² C(x)= (5x – 2)² D(x) = 7(3-x)(x + 8).

2. Factoriser les expressions suivantes :

E(x) = -2x² + 5x F(x) = 2(x – 1) – (3x + 2)(x – 1) G(x) = x² + 4x + 4 H(x) = (x -3)² - 16.

Exercice 2

La fonction f est définie par ( ) ² 3 f x 1

 x

 . 1. Montrer que ( ) ^{3 1}

1 f x x

x

 

 .

2. Déterminer l’ensemble de définition de f.

3. A l’aide d’un tableau de signes, résoudre l’inéquation f x( )0. 4. Résoudre l’équation f x( )2.

Exercice 3 Partie A

Soit f la fonction définie sur [0 ; 8] parf x( ) 16 (  x 4)².

1. Donner le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 8].

2. a. Montrer que pour tout réel x de [0 ; 8], f x( )  x² 8x. b. Calculer ^{f   }_{ }¹₃ ^{et f}

 

c. Résoudre l’équation f x( )0.

3. a. Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x)

b. Tracer la courbe représentative de f dans un repère.

c. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)  5.

Partie B

On dispose de petites affiches de diverses formes et d’une baguette pliable de 16 cm de longueur pour réaliser un cadre rectangulaire ABCD.

On se propose de déterminer si, parmi tous les cadres rectangulaires de périmètre 16 cm, il y en a un d’aire maximale.

A B

D C

1. Soit x la longueur AD. Sachant que le périmètre est de 16, exprimer la longueur AB en fonction de x.

2. En déduire une expression de l’aire de ce rectangle en fonction de x.

3. A l’aide des résultats de la partie A, déterminer les dimensions du rectangle qui donne un rectangle d’aire maximale.

2 Exercice 4

Partie A

Soit f la fonction définie sur [0 ; 14] par f(x) = -2x² + 16x 1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x 0 2 3 3,5 4 4,5 5 6 8

F(x) 31,5 31,5 24

2. Tracer la courbe représentative de f dans un repère.

3. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 25 (laisser les traits de construction utiles pour la résolution).

Partie B

1. Montrer que f(x) = 32 – 2(x – 4)²

2. A l’aide de l’expression obtenue à la question précédente, déterminer le sens de variation de f sur [0 ; 4].

3. Démontrer que 32 est le maximum de f sur [0 ; 8].

Partie C

Un lecteur de CD portable est constitué d’une plaque circulaire blanche de diamètre AB = 8 cm.

Dans cette plaque circulaire sont incluses 2 fenêtres d’affichage grises dont l’une a pour diamètre AM = x cm. (x est un nombre réel compris entre 0 et 8)

1. Déterminer MB en fonction de x.

2. Déterminer l’aire des cercles gris de diamètres [AM] et [MB] en fonction de x.

3. En déduire l’aire de la zone blanche, notée S(x).

4. Montrer que S(x) =  4 f(x).

5. En vous servant des résultats de la partie B, déterminer l’aire maximale de la zone blanche lorsque le point M varie sur [AB].

B)TRIGONOMETRIE Exercice

1. a. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C, D et E repérés respectivement par les réels : .

b. Donner les coordonnées des quatre points A, B, C , D.

2. Déterminer les réels x tels que : et . 3. Déterminer les réels x tels que : et . 4. Soit x un réel de l’intervalle tel q .

Déterminer la valeur exacte de cos x.

3 C) DROITES ET VECTEURS

Exercice1

Dans le plan muni d’un repère on considère les points A(1 ;2) B (3 ; 4) et C(1 ; -4)

1. Placer ces points dans le repère ci-contre : 2. a. Quelle est l’équation de la droite (AC) ? b. Déterminer l’équation de la droite (BC).

3. Soit  la droite d'équation y = 2x - 1

a. Tracer en déterminant deux points de cette droite.

b. Montrer que  est parallèle à (OA).

4 .a. Résoudre le système (S) : b. Déterminer les coordonnées du point E intersection de  et (BC) .

5. Soit F le point de coordonnées (-4;-6) .

a. Déterminer les coordonnées des vecteurs et . b. En déduire que les points A, E et F sont alignés.

Exercice 2

On considère les points A(2; 3), B (1; 0) et C(-2 ;-4) 1. Calculer les coordonnées des vecteurs , et .

2. Calculer les coordonnées I ,J et K milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].

3. Calculer les longueurs AB, AC et BC.

Exercice 3

Soit (O; ^i ; ^j ) un repère orthonormé du plan. On donne les points A(6; 2), B (-3; 0), C(5 ;4) et D (-6; -3).

1. a. Placer les points A, B, C et D dans un repère orthonormé.

Vous compléterez la figure au fur et à mesure.

b. Calculer les coordonnées de I milieu de [AB].

2. Calculer les longueurs AB, AC et BC.

Le triangle ABC est-il rectangle ? (Justifiez)

3. Les droites (BC) et (AD) sont elles parallèles ? (Justifier à l’aide d’un calcul) 4 a. Placer le point M tel que DM = ^ 1

2



BC + AC (Laisser les constructions). ^

b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point M.

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5

0 1

1

x y

4 D) PROBABILITES

Exercice 1

Une urne contient deux jetons verts, deux jetons rouges et un jeton bleu. On tire au hasard un jeton dans l’urne, on note sa couleur, on le remet dans l’urne puis on tire de nouveau un jeton et on note sa couleur.

1. On choisit de noter V1, V2 les deux jetons verts, R1 et R2 les deux jetons rouges et B le jeton bleu.

Remplir le tableau ci-dessus : 2^nd tirage

1^er tirage

V1 V2 R1 R2 B

V1

V2 (V2, R1)

R1

R2

B (B, V1)

2. Quelle est la probabilité de chacune des issues qui apparaît dans le tableau ? 3. On définit les évènements suivants :

A : « On a tiré exactement un jeton vert » B : « Le premier jeton tiré est vert » C : « Le premier jeton tiré est bleu »

a. Calculer les probabilités des évènements A, B et C.

b. Calculer la probabilité des évènements A  C et A  C .

c. Calculer la probabilité de l’évènement B  C. Que peut-on dire de l’évènement B  C ? 4. On note D l’évènement : « le tirage contient au plus un jeton rouge ».

a. Définir l’évènement contraire de D et calculer sa probabilité.

b. En déduire la probabilité de D.

Exercice 2

Un sac contient cinq jetons :

– un portant le numéro 3 ; deux portant le numéro 2 ; deux portant le numéro 1.

On tire un jeton puis un deuxième jeton sans remettre le premier jeton dans le sac. On calcule alors la somme des deux numéros obtenus.

1. Modéliser cette expérience par un arbre. Combien l’univers comporte-t-il d’éventualités ? 2. En déduire la probabilité de chacun des évènements suivants :

A : « Obtenir deux jetons dont les numéros sont identiques » ; B : « Obtenir deux jetons dont les numéros sont différents » ; C : « Obtenir un total de 4 points avec les deux jetons » ; D : « Obtenir au moins 4 points avec les deux jetons ».

3. On tire maintenant trois jetons successivement sans remise.

a. Combien le nouvel univers a-t-il d’éventualités ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement E : « Obtenir 7 points ».

Exercice 3 Probabilités et échantillonnage

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.

À partir d’une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par :

• 60% des clients sont des hommes;

• 80% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45% des femmes en mangent un.

On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :

• H l’évènement « le client interrogé est un homme»;

• D l’évènement « le client interrogé a mangé un dessert».

Partie A

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert.

3. Montrer que p(D) =0,66. Interpréter ce résultat.

Partie B

On choisit au hasard un échantillon de 100 clients de la chaîne de restaurants.

Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f de clients ayant mangé un dessert.