UPMC 1M002 Suites, int´ egrales, alg` ebre lin´ eaire 2013-2014
MIPI 23 Int´ egrales et primitives
Les exercices sans(∗)sont des applications directes du cours. Les exercices marqu´es(∗)sont un peu plus difficiles, mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les ´evaluations. Enfin, quelques exercices marqu´es(∗∗)peuvent ˆ
etre consid´er´es comme des«compl´ements de cours». Les ´evaluations ne comporteront pas d’exercices de ce type.
Exercice 1 (Quelques primitives). D´eterminer les primitives des fonctions suivantes, puis calculer l’int´egrale demand´ee.
1. f :R→R,t7→ |t|. Calculer Z 1
−1
f(t)dt.
2. f : R→Rd´efinie parf(t) = sin(t)(resp.cos(t)). Calculer Z π2
0
f(t)dt.
3. f :R→R,t7→cos(t)2. Calculer Z π2
0
f(t)dt.
4. f :R∗+→R,t7→ 1
√t. CalculerF(x) = Z 1
x
f(t)dtet d´eterminer si lim
x→0+F(x)existe.
5. f : ]−π 2,π
2[→Rd´efinie parf(t) = tan(t). Calculer Z π4
0
tan(t)dt.
6. f :R+∗ →Rd´efinie parf(t) =ln(t)
t . Calculer, pour toutx >0, Z x
1
f(t)dt.
7. f :R→R,t7→ 1
1 +t2. Calculer, pour toutx∈R, Z x
0
f(t)dt. D´eterminer si lim
x→+∞
Z x
−x
f(t)dt existe.
8. f : ]−1,1[→R,t7→ 1
√1−t2. D´eterminer Z
√3/2
0
f(t)dt.
Exercice 2(Int´egrations par parties). D´eterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. f : R+∗ →Rd´efinie parf(t) = ln(t). Calculer, pour toutx >0,
Z x
1
f(t)dt.
2. f : R→Rd´efinie parf(t) =tcos(t). Calculer Z π
0
tcos(t)dt.
3. f : R→Rd´efinie parf(t) =t2et. Calculer, pour toutx∈R, Z x
0
f(t)dt.
Exercice 3(Changement de variables). En utilisant des changements de variables, calculer : I1=
Z 1
0
et
et+ 1dt I2= Z x
0
1
ch(t)dt I3= Z √12
0
√ 1
1−t2dt
Exercice 4(In´egalit´e de Cauchy-Schwarz). (∗)SoitEunR-espace vectoriel etφ:E×E→R,(x, y)7→φ(x, y) une application v´erifiant les propri´et´es suivantes :
(i) φ est lin´eaire en chaque variable, c.-`a.-d., pour tout λ, µ ∈R et x, y, x0, y0 ∈E, on a : φ(λx+x0, y) = λφ(x, y) +φ(x0, y)et φ(x, µy+y0) =µφ(x, y) +φ(x, y0).
(ii) φestsym´etrique, c.-`a.-d., pour toutx, y∈E on aφ(y, x) =φ(x, y).
(iii) Pour tout x∈E, on a φ(x, x)≥0.
Soientx, y∈E.
1. Pour toutt∈R, calculerφ(tx+y, tx+y).
2. En utilisant la condition (iii) et en consid´erant le discriminant d’un certain polynˆome en t de degr´e2, montrer que (?)φ(x, x)φ(y, y)≥φ(x, y)2. En d´eduire que|φ(x, y)| ≤p
φ(x, x)p φ(y, y).
On suppose queφv´erifie de plus la condition suivante, plus forte que (iii) : (iii0) Pour toutx6= 0dansE, on aφ(x, x)>0.
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3. Montrer alors que pour tout x, y∈E, l’in´egalit´e(?)est une ´egalit´e si et seulement si xet ysont li´es.
4. Montrer que l’application E→R+,x7→ kxk=p
φ(x, x)est unenorme surE, i.e. v´erifie : (a) kxk= 0⇔x= 0,
(b) ktxk=|t| kxk pour toutt∈Retx∈E, (c) kx+yk ≤ kxk+kyk pour toutx, y∈E.
Montrer de plus que si x6= 0et si l’on a ´egalit´e dans (c), alors il existet∈R+ tel quey=tx.
Soient a < bdansR, soitE leR-espace vectoriel des fonctions continuesf : [a, b]→Ret soitφ:E×E→R, (f, g)7→
Z b
a
f(t)g(t)dt.
5. Montrer que l’application φv´erifie les conditions (i), (ii) et (iii0).
6. Pour f, g∈E, montrer que
Z b
a
f(t)g(t)dt
≤Z b a
f(t)2dt1/2Z b a
g(t)2dt1/2
. Quand a-t-on ´egalit´e ? 7. Pour f ∈E, montrer queZ b
a
f(t)dt2
≤(b−a) Z b
a
f(t)2dt. Quand a-t-on ´egalit´e ? 8. Pour f, g ∈E, montrer queZ b
a
(f +g)(t)2dt1/2
≤Z b a
f(t)2dt1/2
+Z b a
g(t)2dt1/2
. Quand a-t-on
´ egalit´e ?
9. Soient f, g: [a, b]→Cdeux applications continues. Montrer que Z b
a
|f(t)g(t)|dt≤Z b a
|f(t)|2dt1/2Z b a
|g(t)|2dt1/2
.
Quand a-t-on ´egalit´e ?
Exercice 5(D´ecomposition en ´el´ements simples). D´ecomposer en ´el´ements simples, puis trouver une primitive et enfin calculer l’int´egrale entre 1
2 et1 de : 1. F : ]−1,+∞[→Rd´efinie parF(t) = t
1 +t3. 2. G : ]0,2[→Rd´efinie parG(t) = t+ 1
t3−4t.
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