ONDES STATIONNAIRES
Donn´ees utiles :
– vitesse de propagation d’une ondes sur une corde tendue : c=qTµ – vitesse de propagation des ondes acoustiques dans l’air c= 340 m.s−1
1 Deux cordes de guitares.
Une corde de guitare de 64 cm de longueur poss`ede une masse de 7,3.10−4 kg : son mode fondamental de r´esonance est `a fsol3 = 196 Hz (note sol de la troisi`eme octave sur un piano).
Une autre corde de la mˆeme guitare poss`ede la mˆeme tension, mais son mode fondamental est
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afmi4 = 329,6 Hz (notemide la quatri`eme octave sur un piano) : quelle est sa masse lin´eique ? R´eponse : µmi4 = 4,0.10−4 kg.m−1
2 Passage d’un mode au mode sup´ erieur
Une corde a une extr´emit´e reli´ee `a un vibreur et l’autre qui est fix´ee. Lorsque le vibreur oscille
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a 600 Hz, il on observe 3 fuseaux. Quelle doit-ˆetre la fr´equence du vibreur pour produire un fuseau suppl´ementaire ?
R´eponse : f4 = 43f3 = 800 Hz
3 Chercher la r´ esonance
Un haut parleur qui ´emet un son de 784 Hz est plac´e au dessus d’un cylindre gradu´e partiel- lement rempli d’eau. La hauteur initiale de la colonne d’air dans le haut du cylindre est de D= 40,0 cm. En ouvrant un petit robinet `a la base du cylindre, on peut laisser s’´ecouler l’eau.
De quelle distance h le niveau de l’eau doit-il baisser pour atteindre une r´esonance ? R´eponse : h= 14,2 cm
4 Deux modes cons´ ecutifs dans un tuyau.
Un tuyau est ouvert `a une extr´emit´e (on ne sait pas si l’autre extr´emit´e est ouverte ou ferm´ee).
Deux modes de r´esonance cons´ecutifs ont des fr´equences respectives de 1960 Hz et 2744 Hz.
R´epondre aux questions suivantes, dans l’ordre de votre choix :
Quelle est la fr´equence du mode fondamental ? `A quel num´ero d’harmonique correspondent les deux fr´equences cit´ees ? `A quel num´ero de mode correspondent les deux fr´equences cit´ees ? Le tuyau est-il ouvert ou ferm´e au niveau de la deuxi`eme extr´emit´e ?
R´eponses : fr´equence du fondamental392Hz ; harmoniques de rang5et7; 3e et4e mode ; tuyau ferm´e-ouvert.
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5 Corde excit´ ee par un vibreur.
Une corde d´elimit´ee par ses abscisses x = 0 et x = L est excit´ee en x = 0 par un vibreur.
Celui-ci impose un d´eplacement vertical de l’extr´emit´e gauche de la cordeyv(t) = y0sin(ωt), o`u ω est la pulsation du vibreur ety0 son amplitude. L’extr´emit´e droite est fix´ee. On note y(x, t) la hauteur de la corde par rapport `a sa position horizontale.
1) Quelles conditions aux limites a-t-on enx= 0 et x=L? On cherche y(x, t) sous la forme :
y(x, t) =Asin(ωt+ϕ) sin(kx+ψ) avec k= ω c
2) De quel type-d’onde s’agit-il ?
3) D´eterminer les valeurs de A,ϕ etψ. En d´eduire l’expression de y(x, t).
4) Pour quelle valeur dek l’amplitude de la vibration devient-elle tr`es grande ? Retrouver la condition ´etablie en cours.
5) En cours, on a obtenu les mˆemes fr´equences propres en consid´erant que l’extr´emit´e li´ee au vibreur ´etait un nœud de vibration. Discuter cette hypoth`ese.
6) Le calcul de l’amplitude A fournit une valeur qui tend vers l’infini lorsque la fr´equence tend vers une fr´equence propre. Or on observe des amplitudes importantes mais finies pour ces fr´equences. Analyser.
R´eponses : y(x, t) = y0
sinkLsinωtsin [k(L−x)]
6 Mesure d’une vitesse par stroboscopie
On cherche `a ´etudier le mouvement d’une roue en l’´eclairant avec un stroboscope. En diminuant progressivement la fr´equence du stroboscope depuis une valeur tr`es ´elev´ee, on observe pour la premi`ere fois la roue pratiquement immobile pour une fr´equence de 40 Hz.
1) Peut-on d´eterminer le sens de rotation de la roue avec ce stroboscope ? Expliquer comment.
2) La fr´equence de 40 Hz est l´eg`erement inf´erieure `a la fr´equence de stabilisation, pour laquelle la roue apparaˆıt fixe. `A cette fr´equence de 40 Hz, on constate que la roue semble tourner lentement sur elle-mˆeme. En suivant le mouvement d’une petite marque, on constate qu’il lui faut TA= 30 s pour effectuer un tour complet. Quelle est pr´ecis´ement la fr´equence de rotation de la roue ?
3) Quelles sont les fr´equences qui permettent de stabiliser le mouvement de la roue ? Comment peut-t-on ˆetre sˆur que la premi`ere fr´equence obtenue pour stabiliser la roue correspond bien `a la fr´equence maximale ?
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