Première composition – ENS Lyon 1989

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Première composition de mathématiques E.N.S. Lyon – MP

Dans tout le problème,pdésigne un nombre entier premier etF_p le corpsZ/pZdes entiers modulop.

On propose ici une étude des polynômes irréductibles modulop, c’est-à-dire à coefficients dansF_p.

On montre, en particulier, que pour tout nombre premierpet tout nombre entier n, il existe un polynôme irréductible unitaire surF_p de degré n sans qu’on sache fournir explicitement un tel polynôme. On étudie également une formule d’inversion deMöbius qui permet de dénombrer l’ensemble de ces polynômes.

PARTIE I : Calculs en caractéristique p

.1) Montrer qu’on a p

i

≡0 (modp) pour 0< i < p, où p

i

désigne le coefficient binomial, coefficient deXⁱ dans le développement du binôme (X+ 1)^p.

.2) SoitKun corps commutatif contenant le corpsFp; déduire de la question précédente qu’on a (x+y)^p= x^p+y^p pourx,y dansKpuis qu’on a, pour tout polynômeR à coefficients dansFp ainsi que pourx dansKet ndansN,R x^pⁿ

=R(x)^pⁿ.

PARTIE II : L’anneau quotient k[X]/(Q)

Dans cette partie,kdésigne un corps commutatif quelconque,Qun polynôme à coefficients dansk, de degré supérieur ou égal à 1, et (Q) l’idéal dek[X] engendré parQ.

On définit une relation d’équivalenceRsurk[X] parRRS^def= R−S ∈(Q) ; on noteAl’ensemblek[X]/(Q) des classes d’équivalence moduloRet, pourR dansk[X],Rla classe de RdansA.

.1) a) Vérifier (rapidement) que les lois suivantes sont bien définies et confèrent à A une structure d’algèbre surk, commutative et unitaire :

R+S =R+S; R×S=R×S; λR=λR (R, S∈k[X], λ∈k).

Vérifier également que l’application dekdansAdonnée parλ7→λest un morphisme injectif qui permet d’identifier le corpskà un sous-anneau deA.

b) Montrer que tout élément deAs’écrit R(X) oùRest un polynômeà coefficients dans k.

c) Expliciter une base deAen tant qu’espace vectoriel surk; quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?

.2) a) Caractériser les élémentsRdansk[X] tels queR soit inversible dansA.

b) En déduire une condition nécessaire et suffisante, portant sur le polynômeQ, pour quek[X]/(Q) soit un corps. À titre d’exemple, quels sont les corps parmiF₂[X]/ X²+X+ 1

,F₁₁[X]/ X²+ 1 , F13[X]/ X²+ 1

?

PARTIE III : Les facteurs irréductibles deX^pⁿ−X

Dans cette partie,Qdésigne un polynômeirréductible deF_p[X] de degréd; on noteKle corps F_p[X]/(Q) etX la classe de X dans ce quotient.

.1) Quel est l’ordre du groupe multiplicatifK^∗ =K\ {0}? En déduire∀y∈K^∗,y^p^d⁻¹= 1.

.2) On suppose, dans cette question queddivisen; déduire de la question précédente qu’on aX^p

n

=X puis queQdiviseX^pⁿ−X.

.3) On suppose, dans cette question, queQdiviseX^pⁿ−X.

a) MontrerX^p

n

=X puis qu’on a∀y∈K,y^pⁿ =y.

(2)

c) En déduire que le polynômeY^p^r⁻¹−1 est le polynôme nul puis queddivisen.

.4) Montrer que le polynôme X^pⁿ−X est sans facteur carré puis qu’on aX^pⁿ−X =Y

d|n

Y

Q∈K^d_p

Q, K^d_p

désignant l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degrédsurFp. PARTIE IV : Dénombrement des polynômes irréductibles

On désigne, dans cette partie parI_pⁿ le nombre de polynômesirréductibles unitaires de degrénsurFp. .1) En utilisant le résultat de la question III.4., montrer : (*)pⁿ=X

d|n

dI_p^d.

.2) Déduire de la question précédente qu’on ap^d≥dI_p^d, puis qu’on aI_pⁿ≥1, autrement dit qu’il existe au moins un polynôme irréductible modulopen tout degré.

.3) Donner les valeurs de I_p¹ et de I_pⁿ pour n premier. Montrer que la formule (*) ci-dessus permet de calculerI_pⁿ par une formule récurrente enn.

.4) On désire, dans cette question, retrouver directement la valeur deI_p²puis « expliciter » lesI_p² trinômes unitaires irréductibles surFp.

a) Donner un argument autre que celui fourni par la relation (*) permettant de calculerI_p². Expliciter lesI₂² polynômes unitaires irréductibles surF2.

On suppose maintenantp6= 2.

b) Montrer que l’ensemble des carrés deF^∗_pest un sous-groupe deF^∗_pcontenant exactement (p−1)/2 éléments.

c) En déduire la forme desI_p² trinômes unitaires irréductibles deF_p[X] puis de nouveau la valeur deI_p².

À titre d’exemple, on explicitera lesI₅² trinômes unitaires irréductibles deF5[X].

PARTIE V : La formule d’inversion de Möbius Soit une relation entre deux fonctionsf etg deN^∗ dansC (**)∀n∈N^∗,f(n) =X

d|n

g(d).

On désire exprimergen fonction def. Ce résultat sera appliqué au calcul deI_pⁿ.

On désigne parFl’ensemble de toutes les fonctions deN^∗dansC, muni de l’addition ordinaire des fonctions et du produitarithmétiquedéfini par :

∀n∈N^∗, (f ? h)(n) =X

d|n

f(d)hn d

.

.1) Vérifier queF est un anneau commutatif et unitaire ; quel est son élément unité, que l’on noteraχ? .2) Soitf dansF. Montrer quef est inversible dansFsi et seulement sif(1)6= 0.

.3) On définit la fonctionµde Möbius par :











µ(1) = 1

µ(p1p2· · ·pk) = (−1)^k sip1,p2, . . .,pk sont des nombres premiersdistincts µ(n) = 0 sinon (c’est-à-dire sinest divisible par un carré).

et par cst1 la fonction deN^∗dansC constamment égale à 1.

a) Calculerµ ?cst1.

(3)

b) Soientf et g dansF, liées par une relation (**) ; déduire de ce qui précède qu’on peut exprimer gen fonction def par :

g(n) =X

d|n

µ(d)fn d

.

.4) En déduire une formule exprimantI_n^p.

PARTIE VI : De nombreux polynômes . . . mais un seul corps

Dans cette partie, on fixe un nombre entier n et on s’intéresse aux corps commutatifs à pⁿ éléments ; on souhaite démontrer que deux tels corps sont isomorphes.

.1) Montrer l’existence d’un corps commutatif ayantpⁿ éléments et préciser sa construction.

On désigne maintenant parK⁰ un (autre) corps commutatif « abstrait » àpⁿ éléments.

.2) a) En utilisant le noyau de l’application deZ→K⁰ qui à mdans Zassociem×1 (1 est l’élément unité deK⁰), montrer l’existence d’un entierpremier qtel queqy= 0 pour toutydansK⁰. b) Montrerp=q.

c) En déduire l’existence et l’unicité d’un isomorphisme de corpsσ du corps F_p sur un sous-corps σ(F_p) deK⁰.

Si Qest un polynôme à coefficients dans Fp donné par Q=P

iλiXⁱ, on noteQ^σ le polynôme P

iσ(λi)Xⁱ à coefficients dansσ(Fp), donc dansK⁰.

.3) SoitydansK⁰; vérifier que l’application evaly deFp[X] dansK⁰ définie par : evaly(Q) =Q^σ(y), Q∈Fp[X],

est un morphisme d’anneaux.

.4) On fixe un polynôme P dans Fp[X] irréductible de degré n auquel on associe le corps « concret » K=Fp[X]/(P) ; montrer que le polynômeP^σ admet une racine dansK⁰.

.5) En déduire l’existence d’un isomorphisme du corpsK sur le corpsK⁰.

• •

•

(4)

Première composition – ENS Lyon 1989 Corrigé

Première composition – ENS Lyon 1989

PARTIE I : Calculs en caractéristique p

.1) Pourientier compris entre 1 etp−1, on a p

i

= p i

p−1 i−1

. Par suitep p−1

i−1

=i p

i

et pdivise i

p i

. Étant premier,pest premier aveci puisque 1≤i < p, et donc, d’après le théorème de Gauss, pdivise

p i

.

.2) PuisqueKcontientF_p, le morphisme canonique deZdansKadmetpZcomme noyau et donc, pouri entier compris entre 1 etp−1,

p i

est dans le noyau de ce morphisme. Autrement dit, en identifiant les entiers avec leur image dansK,

p i

est nul dansK.

D’après la formule du binôme de Newton, on a, pourxety dansK (x+y)^p=x^p+

p−1

X

i=1

p i

xⁱy^p−i+y^p=x^p+y^p.

Une récurrence immédiate surk dansNmontre

∀(x₀,· · ·, xk)∈K^k+1,

k

X

i=0

xi

!^p

=

k

X

i=0

x^p_i

et une seconde récurrence, surndansN, permet d’obtenir

∀n∈N,∀(x0,· · · , xk)∈K^k+1,

k

X

i=0

xi

!^pⁿ

=

k

X

i=0

x^p_iⁿ

Soit maintenantR dansFp[X], avecR=

n

X

i=0

aiXⁱ. PourxdansK, il vient :

(R(x))^pⁿ=

k

X

i=0

aixⁱ

!^pⁿ

=

k

X

i=0

(aixⁱ)^pⁿ =

k

X

i=0

(ai)^pⁿ(xⁱ)^pⁿ=

k

X

i=0

(ai)^pⁿ x^pⁿi

.

Or, d’après le petit théorème de Fermat^a, pourλdansFp, on aλ^p =λet donc par récurrence surn dansN,λ^pⁿ =λ. Il s’ensuit

(R(x))^pⁿ=

k

X

i=0

ai

x^pⁿi

=R x^pⁿ

.

a. C’est hors-programme et il faut donc en donner la démonstration. Elle se fait rapidement par récurrence en utilisant que x7→x^pest un morphisme additif :∀k∈N,k^p≡k(modp).

1

(5)

PARTIE II : L’anneau quotient k[X]/(Q) .1) a) SoitR,S,T etU dansAet λdansk. Les écritures

(R+S)−(T+U) = (R−T) + (S−U), RS−T U = (R−T)S+ (S−U)T , λR−λT =λ(R−T) montrent que siR−T etS−U sont dans (Q), alors il en est de même de (R+S)−(T+U), deRS−

T Uet deλR−λT puisque (Q) est stable par addition, par multiplication par un élément dek[X] et donc aussi, a fortiori, par un élément dek. Ceci prouve que les trois lois sont bien définies surA.

Commek[X] est une k-algèbre associative, commutative et unitaire, l’application surjectiveϕde k[X] dans A définie par ϕ(R) = R permet de définir une structure de même nature sur A par transport de structure. En effet, on a, pour (x, y) dansA² etλdansk

x+y=ϕ(ϕ⁻¹(x) +ϕ⁻¹(y)) ; x×y=ϕ(ϕ⁻¹(x)×ϕ⁻¹(y)) ; λx=ϕ(λϕ⁻¹(x)) et la structure d’algèbre (associative, commutative et unitaire) surAest une conséquence de celle surk[X] : Aest unek-algèbre associative, commutative et unitaire.

La restriction de ϕ à k est également un morphisme d’algèbre. Le noyau de cette restriction est l’intersection de Ker(ϕ) avec k, i.e. (Q)∩k. Or tout polynôme non nul de (Q) est de degré supérieur à celui deQ, donc à 1. Il en résulte Ker(ϕ_|k) ={0} et donc

ϕ_|k est un morphisme injectif d’algèbres et on ak∼=ϕ(k).

b) Soit αdans Aet soit alorsR dans k[X] tel queα=R. On peut écrireR=Pn

i=0aiXⁱ, pourn dansN et (ai)_0≤i≤n ∈kⁿ⁺¹. Comme k ⊂A et R∈ k[X], on peut voirR comme un polynôme dansA[X] et il vient

α=

n

X

i=0

a_iXⁱ=

n

X

i=0

a_iXⁱ=

n

X

i=0

a_iXⁱ=R(X), puisqueai=ai.

c) Une base deAconsidéré commek-espace vectoriel estB avec B=

1, X, . . . , X^d−1

, avecd= deg(Q). En effet :

— Soit α dans A et R dansk[X] tel que α=R. On écrit la division euclidienne deR parQ sous la forme R = BQ+R1 et alors BQ ∈ (Q), de sorte qu’on aR−R1 ∈ (Q) et donc α=R=R1=R1(X). Comme R1 est de degré strictement inférieur à deg(Q), il en résulte queαest combinaison linéaire d’éléments deB.

— Soit maintenant (ai)_{0≤i≤d−1}dans k^d tel que

d−1

X

i=0

aiXⁱ = 0. En posantR=

d−1

X

i=0

aiXⁱ, il vient R = 0, soit R ∈ (Q), i.e. Q divise R. Or deg(R) <deg(Q) et donc R = 0 ; autrement dit ai= 0 pour toutidansJ0;d−1K, i.e. Best libre.

En particulier dim(A) = deg(Q).

.2) a) Soit Rdansk[X] etα=R. Alorsαest inversible dansAsi et seulement s’il existeβ dansAtel queαβ= 1, ou encore s’il existeS dansk[X] tel queRS= 1, i.e. RS−1 est un multiple deQ.

Cette dernière propriété est équivalente à l’existence d’unBdansk[X] tel queRS−1 =QB, i.e.

RS−QB= 1.

D’après le théorème de Bézout, il en résulte que

Rest inversible dans Asi et seulement siRest premier àQ.

(6)

b) Il résulte de ce qui précède queA est un corps si et seulement si, pour toutR tel queR6= 0, R est premier àQ, i.e. pour tout polynôme dek[X], soit c’est un multiple de Q, soit il est premier àQ. Autrement dit Aest un corps si et seulement siQest irréductible.

On remarque par ailleurs qu’un polynômeQde degré 2 est irréductible si et seulement s’il n’admet pas de diviseur de degré 1, i.e. si et seulement s’il n’admet pas de racine.

— Sik=F₂et Q=X²+X+ 1, on aQ(0) =Q(1) = 1 et doncQn’a pas de racine dansF₂. Il est donc irréductible et F₂/ X²+X+ 1

est un corps.

— Si k = F₁₁ et Q = X²+ 1, Q est irréductible si et seulement si −1 n’est pas un carré dansF₁₁. Or en élevant 0,±1,. . ., ±5 au carré, on obtient que les carrés dans F₁₁ sont 0, 1, 4, 9, 5 et 3. Comme ils sont tous distincts de−1 modulo 11, Q est irréductible et donc

F₁₁[X]/ X²+ 1

est un corps.

— Sik=F₁₃ et Q=X²+ 1, on a Q= (X −5)(X+ 5) et doncQn’est pas irréductible. Il en résulte que F₁₃[X]/ X²+ 1

n’est pas un corps.

PARTIE III : Les facteurs irréductibles deX^pⁿ−X

.1) D’après II.1.c, le corpsK est unF_p-espace vectoriel de dimensiondet est donc isomorphe à (F_p)^d. Il en résulte Card(K) =p^d et Card(K^∗) =p^d−1 : le groupe multiplicatifK^∗est d’ordrep^d−1.

D’après le théorème de Lagrange^b, on a donc y^p^d⁻¹= 1 pour touty deK^∗.

.2) Comme ddivise n, p^d−1 divisepⁿ−1. Or, pour tout y de K^∗ on a y^p^d⁻¹ = 1 et donc on a aussi y^pⁿ⁻¹= 1 et, a fortiori,y^pⁿ =y.Comme cette dernière égalité est encore vraie pour y= 0, on a donc y^pⁿ=y pour tout élément deK. En particulier poury=X, on a X^p

n

=X . Autrement ditR= 0, siR=X^pⁿ−X,, et donc QdiviseX^pⁿ−X.

.3) a) On aR= 0, en posantR=X^pⁿ−X, soit X^p

n

=X.

Soit maintenanty dansK. Il existe doncP dansFp[X] tel quey=P =P X

. Il vient y^pⁿ = P X^pⁿ

= P

X^p

n

(d’après I.2)

= P X

(carX^p

n

=X)

= y.

Donc ∀y∈K,y^pⁿ=y.

b) Posons n=dq+rla division euclidienne denpard. On a pⁿ−1 =p^dq+r−1 =p^r p^dq−1

+p^r−1. Donc, pour y ∈ K^∗, on a y^pⁿ⁻¹ =

y^p^dq⁻¹^p^r

y^p^r⁻¹. Or, d’après III.2, puisque d divise dq, y^p^dq⁻¹= 1.

b. Encore un théorème hors-programme, qu’il faut donc démontrer. On le fait en considérant les classes pour la relation xRy≡xy⁻¹∈H avecHun sous-groupe deG. Toutes les classes ont un cardinal égal à|H|et donc|G|est un multiple de|H|.

3

(7)

Or, d’après III.3.a, poury∈K^∗on ay^pⁿ=yet donc, par intégrité,y^pⁿ⁻¹= 1. Par suite il vient : 1 =y^pⁿ⁻¹=

y^p^dq⁻¹^p^r

y^p^r⁻¹= 1^p^ry^p^r⁻¹=y^p^r⁻¹ pour touty deK^∗, i.e. ∀y∈K^∗,y^p^r⁻¹= 1.

c) SoitY^p^r⁻¹−1 dansK[Y]. Son degré est égal àp^r−1 sauf sir= 0 auquel casAc’est le polynôme nul. Or toutK^∗est racine de ce polynôme, ce qui lui confèrep^d−1 racines. Commep^d−1> p^r−1, c’est le polynôme nul. Par suiter= 0 etddivisen.

Le polynômeY^p^r⁻¹−1 est le polynôme nul deK[Y] etddivisen.

.4) Supposons que le polynôme P de Fp[X] donné par P = X^pⁿ −X possède un facteur carré. Soit alors Q irréductible dans Fp[X] tel que Q² divise P. On peut écrire P =Q²R avecR ∈ Fp[X]. Il vient alors P⁰ = 2QQ⁰R+Q²R⁰ et donc Q divise P⁰. Mais on a P⁰ = pⁿX^pⁿ⁻¹−1 = −1 et donc Q divise −1. Ceci est une contradiction puisque Q est irréductible et donc de degré supérieur à 1.

X^pⁿ−1 est sans facteur carré.

Les questions précédentes montrent que les facteurs irréductibles deX^pⁿ−1 sont de degré un diviseur denet réciproquement puisque ce sont des diviseurs deX^pⁿ−1. Par suite, puisque c’est un polynôme unitaire, on a X^pⁿ−X =Y

d|n

Y

Q∈K^d_p

Q.

PARTIE IV : Dénombrement des polynômes irréductibles

.1) Puisque n ≥1, on apⁿ >1 et donc le degré de X^pⁿ−X est pⁿ. La formule établie en III.4 donne directement, en égalant les degrés :

pⁿ=X

d|n

X

Q∈K^d_p

deg(Q) =X

d|n

X

Q∈K^d_p

d ,

i.e. pⁿ=X

d|n

dI_p^d.

.2) SoitddansN^∗, on a donc p^d=X

δ|d

δI_p^δ≥dI_p^d puisque c’est une somme à termes positifs. Mézalor on a

pⁿ =X

d|n

dI_p^d≤nI_pⁿ+X

d|n

d6=n

p^d≤nI_pⁿ+

n−1

X

d=0

p^d=nI_pⁿ+pⁿ−1

p−1 ≤nI_pⁿ+pⁿ−1 et doncnI_pⁿ≥1. Il s’ensuitI_pⁿ>0 et doncI_pⁿ≥1.

Il y a au moins un polynôme irréductible unitaire de degréndansFp[X] et ce pour toutn∈N^∗. .3) Tout polynôme Qunitaire de degré 1, i.e. du type Q=X −a avec a∈F_p, étant irréductible, on a

I_p¹= Card(F_p) =p.

Sinest premier, ses seuls diviseurs sont 1 etnet la formule établie en IV.1 donnepⁿ=I_p¹+nI_pⁿ, i.e.

I_pⁿ= pⁿ−p n .

Remarque : ce nombre est entier d’après le (petit) théorème de Fermat.

(8)

Par ailleurs la formule du IV.1 permet de calculerI_p¹car elle donnep=I_p¹. Et elle permet, lesI_p^détant connus pourd∈J1;n−1Kde calculerI_pⁿ, i.e.

la formule (∗) permet de calculerI_pⁿ par récurrence forte sur n.

.4) a) Un trinôme du second degré est irréductible si et seulement s’il n’admet par de racine. Les po- lynômes réductibles du second degré sont soit à racines distinctes, soit avec une (seule) racine double. On dénombre donc :

— L’ensemble des trinômes unitaires du second degré deFp[X], i.e. de la formeQ=X²+aX+b, est en bijection avecF×F, donc est de cardinalp².

— L’ensemble des trinômes unitaires du second degré ayant une racine double, i.e. de la forme Q= (X−α)², est en bijection avecF, donc est de cardinal p.

— L’ensemble des trinômes unitaires du second degré ayant deux racines simples, i.e. de la forme Q = (X−α) X−β

avec α 6= β, est en bijection avec les classes d’équivalence de F_p×F_p privé de sa diagonale, pour la relation d’équivalenceRdéfinie par (x, y)R(x⁰, y⁰)≡ ((x, y) = (x⁰, y⁰)∨(x, y) = (y⁰, x⁰)). Il est donc de cardinal (p²−p)/2, i.e. p(p−1)

2 .

Puisque, joint aux deux précédents,Kⁿ_p forme une partition du premier ensemble, on a I_p²=p²−p−p(p−1)

2 =p(p−1)

2 .

Pourp= 2, le cas d’une racine double fournit (X+ 1)², i.e.X²+ 1, etX². Le cas de deux racines simples fournitX(X+ 1), i.e.X²+X. Et donc

le seul trinôme du second degré unitaire irréductible est l’unique trinôme non encore écrit, i.e.

X²+X+ 1.

Remarque : c’est aussi une conséquence de IV.3 qui assure I_p² = 1 et de II.2.b qui assure que X²+X+ 1 est irréductible dans F2[X].

b) On note C(F^∗_p) l’ensemble des carrés d’éléments de F^∗_p. Comme F^∗_p est un groupe multiplicatif commutatif, l’application ϕ : F^∗_p → F^∗_p, définie par ϕ(x) = x² est un morphisme de groupes d’imageC(F^∗_p) et de noyau

1,−1 . En particulierC(F^∗_p) est un groupe puisque c’est l’image d’un groupe par un morphisme de groupes. Commep >2, Ker(ϕ) possède exactement deux éléments.

Le théorème de factorisation canonique, ou encore le théorème de Lagrange, donne p−1 = Card(G) = Card(Im(ϕ)) Card(Ker(ϕ))

et donc Card C F^∗_p

= p−1 2 .

c) SoitT un trinôme du second degré unitaire arbitraire deFp[X], avecT =X²+αX+β etαetβ dansF_p. On l’écrit sous forme canonique : puisquep6= 2, 2 est inversible et on poseuson inverse, et il vient

T = (X+uα)²−u² α²−4β . Posonsx=−uαety=u²(α²−4β), de sorte qu’on a

T= (X−x)²−y . Remarquons que, réciproquement, sixety sont dansFp, on a

(X−x)²−y=X²+αX+β

5

(9)

pour α=−2xet β =x²−y. On a donc une bijection entre l’ensemble des trinômes du second degré unitaires deFp[X] etF²_pdonné parT 7→(x, y). De plus un tel trinôme admet une racine si et seulement si l’équation (X−x)²=y admet une solution, i.e. si et seulement siy est un carré.

Dans ce cas, la racine est double si et seulement siy est nul.

Les trinômes du second degré unitaires irréductibles dansFp[X] sont les trinômes de la forme (X−x)²−y avecy qui n’est pas un carré dansFp.

Il en résulte queKⁿ_p est en bijection avecFp× F^∗_p\ C(F^∗_p)

et donc I_p²=pp−1 2 .

On aC(F^∗₅) ={1,−1) et donc les dix trinômes du second degré unitaires irréductibles de F5[X] sont de la forme (X−x)²±2 pourxdansF5, i.e.

K²₅est constitué deX²−2 etX²+ 2,X²−2X−1 etX²−2X−2,X²+X+ 2 etX²+X+ 1, X²−X+ 2 etX²−X+ 1,X²+ 2X−1 etX²+ 2X−2.

PARTIE V : La formule d’inversion de Möbius

.1) PuisqueC^N^∗ est un groupe commutatif pour l’addition, il en va de même pourF. De plus la loi? est une loi interne par définition même.

Soitf ethdansF, on a

∀n∈N^∗, (f∗h)(n) = X

1≤d1,d2≤n

d₁d₂=n

f(d₁)h(d₂)

de sorte que la loi ? est manifestement commutative puisque f et h jouent le même rôle et ? est distributive par rapport à l’addition puisque la multiplication l’est dansC.

Par ailleurs la fonctionχ égale à 1 en 1 et nulle sur les autres entiers vérifief ? χ=χ ? f =f et est donc un élément neutre pour?.

Enfin, pourg dansF, on a

∀n∈N^∗, (f∗g)∗h(n) = X

1≤d1,d2,d3≤n

d₁d₂d₃=n

f(d1)g(d2)h(d3)

et donc?est associative puisque la multiplication l’est dans C.

Finalement Fest un anneau commutatif.

.2) Sif est inversible, notonshson inverse. On a alorsf ? h(1) =f(1)h(1) =χ(1) = 1 et doncf(1)6= 0.

Réciproquement, sif(1)6= 0, on définithpar récurrence forte. On poseh(1) = 1/f(1) et, pour ndans Nsupérieur à 2, si hest défini surJ1;n−1K, on pose

h(n) = −1 f(1)

X

d|n

d6=n

fn d

h(d).

On définit ainsi une fonction de N^∗ dansC. De plus on af ? h(1) = f(1)h(1) = 1 et, pour nentier supérieur à 2,f ? h(n) = 0 par construction deh(n). Donc f ? h=χet, par commutativité,h ? f =χ, i.e.f est inversible d’inverseh.

La fonctionf est inversible dans Fsi et seulement sif(1)6= 0.

(10)

.3) On aµ∗cst1(1) =µ(1)cst1(1) = 1. Soit maintenantnun entier supérieur à 2 etn=p^α₁¹p^α₂². . . p^α_k^k sa décomposition primaire. On a

(µ∗cst1) (n) = X

d|n

µ(d)

= X

0≤β1≤α1

. . . X

0≤β_k≤α_k

µ

p^β₁¹p^β₂². . . p^β_k^k

= X

0≤β1≤1

. . . X

0≤βk≤1

µ

p^β₁¹p^β₂². . . p^β_k^k

= X

J⊂J1;kK

µ



 Y

j∈J

pj





= X

J⊂J1;kK

(−1)^Card(J)

=

k

X

j=0

k j

(−1)^j

= (1−1)^k par la formule du binôme de Newton

= 0. Par suite µ∗cst1=χ.

.4) On af =g ?cst1 et doncf ? µ=g ?(cst1? µ) =g ? χ=g. Et doncg=f ? µ=µ ? f. En particulier, pourndansN^∗, g(n) =X

d|n

µ(d)fn d

.

.5) On applique ce qui précède pour f l’application n 7→ pⁿ et g l’application n 7→ nI_pⁿ. On a bien f =g ?cst1 d’après IV.1. Donc, d’après la formule d’inversion de Möbius,

on a, pour toutndansN^∗,nI_pⁿ=X

d|n

µ(d)p^n/d, i.e.I_pⁿ=X

d|n

µ(d) n p^n/d.

Pourn= 1 on retrouve bien I_p¹=µ(1)p¹=p. Pournentier supérieur à 2 de décomposition primaire n=p^α₁¹p^α₂². . . p^α_k^k, on a : I_pⁿ= X

J⊂J1;kK

(−1)^Card(J) n p^n/

Q

j∈Jp_j

.

PARTIE VI : De nombreux polynômes . . . mais un seul corps

.1) D’après IV.2, il existe au moins un polynôme unitaire P irréductible modulo p de degrén. Si P est un tel polynôme, d’après II.2.b,Fp[X]/(P) est un corps commutatif et son cardinal estpⁿ, d’après la question III.1.

.2) a) Soit ϕ : Z→ K⁰ l’application définie par ϕ(m) = m.1, l’itéré additif d’ordre m de l’unité 1 de K⁰. Alorsϕest un morphisme d’anneaux et il n’est pas injectif puisqueZest infini alors queK⁰ est fini. Son noyau est donc un idéal non nul deZ, i.e. c’estqZpour un certain entierqdansN^∗. CommeK⁰ est un corps,q en est la caractéristique et est donc premier.

Par définition deϕ,m.1 = 0 pour toutmdansqZet donc, poury dansK⁰, on amy= (m1)y= 0y= 0. D’où : il existeq dansN^∗, premier, tel queqy= 0 pour toutydansK⁰.

7

(11)

b) L’image de Z par le morphisme précédent est un sous-corps de K⁰ isomorphe à Fq et donc K⁰ a une structure canonique d’espace vectoriel sur Fq. Il est donc linéairement isomorphe à F^k_q pour un certain entierk et alors Card(K⁰) = q^k. Comme pet q sont premiers, par unicité de la décomposition en facteurs premiers, il vientk=net p=q.

c) D’après le théorème de factorisation canonique il existe un unique morphismeσ :Fp →K⁰ qui factorise le diagramme

Z −−−→^ϕ K⁰

π& %σ

Fp

En tant que morphisme de corps,σest injectif et réalise donc un isomorphisme du corpsF_p sur le sous-corpsσ(F_p) deK⁰.

.3) L’application σ étant un morphisme de corps d F_p dans K⁰, il est injectif et induit un morphisme d’anneaux injectifeσdeF_p[X] dansK⁰[X] défini pareσ(Q) =Q^σ.

Par ailleurs la spécialisation enyest un morphisme deK⁰-algèbres deK⁰[X] dansK⁰. Par composition evaly est donc un morphisme d’anneaux deF_p[X] dansK⁰.

.4) D’après III.2,P diviseX^pⁿ−X. DoncP^σ divise X^pⁿ−X^σ

, i.e. diviseX^pⁿ−X dansK⁰[X].

D’après III.1, mutatis mutandis, tout élément de (K⁰)^∗ est racine de X^pⁿ −X et donc en fait tous les éléments deK⁰ sont racines de ce polynôme. Il est donc simplement scindé surK⁰. Mais alorsP^σ, étant un diviseur d’un polynôme simplement scindé, l’est aussi. Comme il est de degré supérieur à 1,

P^σ admet au moins une racine dansK⁰.

.5) Soityune racine deP^σ. L’application evaly associée à ce choix dey est alors un morphisme d’anneaux deF_p[X] dans K⁰ dont le noyau est un idéal principal deF_p[X]. Comme F_p[X] est infini, eval_y n’est pas injective et donc son noyau n’est pas nul. Soit alorsM un générateur unitaire de Ker(eval_y). Son degré est supérieur à 1 puisque les polynômes constants non nuls ne sont pas dans Ker(eval_y).

Or evaly(P) =P^σ(y) = 0 et doncP ∈(M), i.e. M diviseP. Comme P est irréductible et commeM n’est pas constant et est unitaire, on aM =P. Il en résulte que l’application deFp[X]/(P) dansK⁰ est bien définie et est un morphisme injectif d’anneaux et donc de corps. Par cardinalité, c’est donc un isomorphisme et donc tous les corps commutatifs^c sont isomorphe au corps concretK.

Il existe un isomorphisme de corps entre K et K⁰, i.e. à isomorphisme prés il existe un seul corps commutatif de cardinalpⁿ pourppremier et ndansN^∗.

c. Par ailleurs le théorème de Wedderburn assure que tout corps fini est commutatif.