MPSI A - MPSI B 2011-2012 DS commun 1 13 septembre 2017
Exercice 1. Intersection d’un c ˜A´ne par des plans.
Dans un espace muni d’un rep ˜A¨re orthonorm ˜A cdirectR= (O,(−→ i ,−→
j ,−→ k)), on note Γ l’ensemble des pointsM dont les coordonn ˜A ces (x(M), y(M), z(M)) v ˜A crifient
x(M)2+y(M)2= 1
3(z(M)−2)2
1. D ˜A cterminer l’ ˜A cquation cart ˜A csienne de la courbe obtenue par l’inter- section de Γ avec le planxOy. Quelle est la nature de cette courbe ? 2. a. D ˜A cterminer la nature de l’intersection de Γ avec le plan d’ ˜A cquation
x= 0.
b. D ˜A cterminer la nature de l’intersection de Γ avec le plan d’ ˜A cquation x=k o ˜A1kestunrA˜elnonnulf ixc A˜.c
3. Soit ϕ un r ˜A cel quelconque. On consid ˜A¨re un nouveau rep ˜A¨re ortho- norm ˜A cdirect
Rϕ= (O,(−→ Iϕ,−→
Jϕ,−→
Kϕ)) avec −→
Iϕ= cosϕ−→
i + sinϕ−→ j et −→
Kϕ=−→ k
On noteXϕ(M), Yϕ(M),Zϕ(M) les coordonn ˜A ces d’un point M dans ce nouveau rep ˜A¨re.
a. Que vaut−→ Jϕ?
b. Exprimer l’ ˜A cquation de Γ ˜A l’aide des coordonn ˜A cesXϕ(M),Yϕ(M), Zϕ(M).
c. D ˜A cterminer la nature de l’intersection de Γ avec un plan parall ˜A¨le A l’axe˜ Oz.
4. SoitAle point de coordonn ˜A ces (0,0,2) dans R.
On note (X(M), Y(M), Z(M)) les coordonn ˜A ces de M dans le rep ˜A¨re RA = (A,(−→
i ,−→ j ,−→
k)). Pour a, b, c r ˜A cels (non tous nuls), on note −→n le vecteur
−
→n =a−→ i +b−→
j +c−→ k etP−→n le plan passant parA et orthogonal ˜A −→n.
a. Exprimer l’ ˜A cquation de Γ ˜A l’aide des coordonn ˜A cesX, Y,Z.
b. Montrer que l’intersection de Γ avecP−→n contient un point autre queA si et seulement si
a2+b2≥3c2 On commencera par traiter le casc6= 0.
c. D ˜A cterminer la nature de l’intersection de Γ avec un plan passant par Alorsqu’elle ne se r ˜A cduit pas au pointA.
Exercice 2. ´Equation d’une surface r ˜A cgl ˜A ce.
Dans un espace muni d’un rep ˜A¨re orthonorm ˜A cdirectR= (O,(−→ i ,−→
j ,−→ k)), on consid ˜A¨re plusieurs objets.
– La courbeHd’ ˜A cquation
(x= 1 y2−z2= 4
– Pourε∈ {−1,+1}etu∈R, le pointHε(u) de coordonn ˜A ces (1, ε2 chu,2 shu).
– D0 la droite passant parO et de direction−→ k.
– L’unionS des droitesD telles queD∩D06=∅,D∩ H 6=∅etD orthogonale A˜ −→
k.
1. Soit (a, b)∈R2 quelconques. Montrer que
a2−b2= 1⇔ ∃ε∈ {−1,+1},∃u∈Rtq
(a=εchu b= shu
2. SoitM un point de l’espace. Caract ˜A criser param ˜A ctriquement queM ∈ S. La condition devra contenir des quantificateurs et des param ˜A¨tres clai- rement pr ˜A ccis ˜A cs.
3. D ˜A cterminer une ˜A cquation cart ˜A csienne deS.
Exercice 3. Intersection d’une surface par des plans.
Dans un espace muni d’un rep ˜A¨re orthonorm ˜A cdirectR= (O,(−→ i ,−→
j ,−→ k)), on consid ˜A¨re l’ensembleSdes pointsM dont les coordonn ˜A ces (x(M), y(M), z(M)) dansRv ˜A crifient
y(M)2=x(M)2(z(M)2+ 4) 1. Soitb∈R.
a. En traitant ˜A part le casb = 0, d ˜A cterminer la nature de la courbe Cb intersection deS par le plan d’ ˜A cquation x=b.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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b. D ˜A cterminer les ensembles constitu ˜A cs par les sommets et les foyers deCb lorsquebd ˜A ccritR∗.
2. On note Γc l’intersection de S par le plan d’ ˜A cquation y=c (pourc6= 0).
Former une ˜A cquation de Γc.
3. On d ˜A cfinit une courbe param ˜A ctr ˜A ce t∈i
−π 2,π
2 h∪
π 2,3π
2
→M(t) de coordonn ˜A ces (u(t), c, w(t)) avec
u(t) = c
2cost w(t) = 2 tant Lacourbure enM(t) est d ˜A cfinie par
∆(t) =u0(t)w00(t)−u00(t)w0(t)
a. Montrer que Γc est le support de la courbe param ˜A ctr ˜A ceM. b. Calculer ∆(t).
c. On dit queM(t0) est un point d’inflexion si et seulement si ∆(t) s’annule en changeant de signe ent0. D ˜A cterminer l’ensemble constitu ˜A cpar les points d’inflexion des Γc lorsquec d ˜A ccrit R.
Exercice 4. Parabole, podaire et tangentiel.
Un plan muni d’un rep ˜A¨re orthonorm ˜A c direct R= (O,(−→ i ,−→
j)). Dans ce plan, soitF etAles points respectivement de coordonn ˜A ces (1,0) et (1,−2).
SoitP la parabole de foyerF et de sommetO.
1. On consid ˜A¨re une fonctionϕd ˜A cfinie dansRpar : ϕ(t) = 1 + 4t+ 2t2+t4
a. Factoriserϕ(t) en produit de facteurs de degr ˜A c1 et 3 sachant qu’elle prend la valeur 0 en−1. On pourra utiliser des coefficients ind ˜A ctermin ˜A cs.
b. Montrer que ϕ s’annule deux fois dans R : en −1 et en un certain α tel que −1 < α <0. On ne cherchera pas ˜A pr ˜A cciser davantage ce r ˜A celα.
2. Former une ˜A cquation cart ˜A csienne deP et v ˜A crifier queA∈ P.
3. Pour toutt∈R, soit M(t) le point deP d’ordonn ˜A ce 2t.
a. Former une ˜A cquation de la tangenteDt A˜ P enM(t).
b. D ˜A cterminer les coordonn ˜A ces du projet ˜A c orthogonalN(t) de A sur la tangenteDt.
4. ´Etude de la courbe param ˜A ctr ˜A ce N. Le support de cette courbe est not ˜A c E.
a. Former les tableaux de variations des coordonn ˜A ces de N.
b. Pr ˜A cciser les branches infinies.
c. Le point A appartient ˜A E. Que peut-on dire de A? Pr ˜A cciser un vecteur directeur de la tangente ˜A E en ce point.
5. Soitt1,t2,t3trois r ˜A cels deux ˜A deux distincts.
a. On consid ˜A¨re trois points de coordonn ˜A ces (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3).
Montrer qu’ils sont align ˜A cs si et seulement si le d ˜A cterminant sui- vant est nul
x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1
= 0
b. D ˜A cmontrer les expressions suivantes des d ˜A cterminants :
1 t1 t21 1 t2 t22 1 t3 t23
= (t3−t2)(t2−t1)(t3−t1)
1 t1 t31 1 t2 t32 1 t3 t33
= (t3−t2)(t2−t1)(t3−t1)(t1+t2+t3)
c. Montrer queN(t1),N(t2),N(t3) sont align ˜A cs si et seulement si t1t2t3−(t1+t2+t3) = 2
6. Soitt∈R\ {−1,1}et ∆t la tangente enN(t) ˜A E.
a. Montrer que ∆t∩ E est constitu ˜A cdeN(t) et d’un unique autre point N(θ). Exprimerθen fonction det. Ce point est appel ˜A ctangentiel de N(t).
b. Un point peut-il ˜Aatre confondu avec son tangentiel ?
c. Montrer que si trois points deE \ {N(−1), N(1)} sont align ˜A cs alors leurs tangentiels sont align ˜A cs.
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Exercice 5. T ˜A ctra ˜A¨dres trirectangles.
On dira qu’un t ˜A ctra ˜A¨dreO,A,B,C est trirectangle lorsque−→
OA,−−→ OB,−−→
OC sont deux ˜A deux orthogonaux. On note
k−→
OAk=a, k−−→
OBk=b, k−−→ OCk=c
et −→
S = 1 k−→
OAk2
−→OA+ 1 k−−→
OBk2
−−→ OB+ 1
k−−→ OCk2
−−→ OC
1. Exprimerk−→
Sk2 etk−−→ AB∧−→
ACk2 en fonction dea,b,c.
2. Montrer que le sym ˜A ctrique du pointOpar rapport au centre de gravit ˜A c Gdu t ˜A ctra ˜A¨dre est le centre de la sph ˜A¨re circonscrite au t ˜A ctra ˜A¨dre.
Pr ˜A cciser le carr ˜A cdu rayon.
3. SoitH le projet ˜A corthogonal deO sur le plan (A, B, C).
a. Montrer queH est l’orthocentre du triangleA, B, C. b. Montrer que−→
S est orthogonal au plan (A, B, C).
c. Montrer que
1 k−−→
OHk2 = 1 a2 + 1
b2 + 1 c2
(on pourra utiliser un d ˜A cterminant)
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