4 Mesures absolument continues
4.1 Fonctionelles continues sur l’espace L
2SoitX = [p, q] et µune mesure sur (X,BX). On d´efinit un produit scalaire surL2(X, µ) par la formule
(f, g) =
�
X
f gdµ, f, g∈L2(X, µ).
Pour toutf ∈L2(X, µ), l’application g�→(f, g) est une fonction lin´eaire conti- nue. Me th´eor`eme suivant ´etablit l’assertion r´eciproque.
Th´eor`eme 4.1. Soit F : L2(X, µ) → R une fonctionnelle continue. Alors il existe une unique fonction f ∈L2(X, µ)telle que
F(g) = (f, g) pour toutg∈L2(X, µ). (4.1) D´emonstration dans le cas de �2. Si une suite f = (fn)n≥1 ∈ �2 v´erifiant les conditions du th´eor`eme existe, alors elle est unique, et ses ´el´ements sont donn´es parfn=F(e(n)), ou e(n)m =δnm. montrons que la suite d´efinie par ces relations appartient `a �2. En effet, on a
F
��k
n=1
fne(n)
�
=
�k
n=1
fn2,
��
��F
��k
n=1
fne(n)�����≤C
��
��
�k
n=1
fne(n)
��
��=C
��k
n=1
fn2
�1/2
,
d’o`u on voit que
�f�2�2 =
�k
n=1
fn2≤C2.
En utilisant le lemme de Fatou, on conclut quef ∈�2. Comme les fonctionnelles continuesg�→F(g) etg�→(f, g) sont confondues sur des combinaisons lin´eaires finies de e(n), elle sont ´egales.
4.2 Th´ eor` eme de Radon–Nikodym
Soitν une mesure sur (X,BX) etf ∈L1(X, ν). Alors la fonction µ: Γ�→
�
Γ
f dν, Γ∈ BX,
d´efinit une mesure telle queµ(Γ) = 0 pour tout Γ∈ BX v´erifiantν(Γ) = 0. Le th´eor`eme suivant ´etablit l’implication r´eciproque pour des mesures finies.
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Th´eor`eme 4.2. Soient µ, ν deux mesure sur(X,BX)de masses totales finies.
Supposons que µ(Γ) = 0 pour tout ensembleΓ ∈ BX tel que ν(Γ) = 0. Alors il existe une unique fonction f ∈L1(X, ν)telle que
µ(Γ) =
�
Γ
f dν pour toutΓ∈ BX. (4.2) D´emonstration. Sans perte de g´en´eralit´e, on suppose queµ(X) =ν(X) = 1. Soit λ=µ+ν. Alors la fonction g�→�
Xgdµ est lin´eaire et continue surL2(X, λ).
Donc, d’apr`es le th´eor`eme 4.1, il existe ψ∈L2(X, λ) tel que
�
X
gdµ=
�
X
ψgdλ pour toutg∈L2(X, λ). (4.3) Montrons que 0≤ψ <1ν-presque sˆurement (et doncµ-presque sˆurement). En effet, la relation (4.3) est ´equivalente `a
�
X
g(1−ψ)dµ=
�
X
ψgdν pour toutg∈L2(X, λ). (4.4) Prenonsg=I{ψ≥1}. Alors
0≥
�
X
I{ψ≥1}(1−ψ)dµ=
�
X
I{ψ≥1}ψ dν≥ν({ψ≥1}),
d’o`u on voit queν({ψ≥1}) = 0, doncψ <1ν-presque sˆurement. De mˆeme, en prenant g=I{ψ<0}, on obtient
0≤
�
X
I{ψ<0}(1−ψ)dµ=
�
X
I{ψ<0}ψ dν≤0, d’o`u on conclut queψ≥0ν-presque sˆurement.
On prend maintenantg =h(1 +ψ+· · ·+ψn) avec 0≤h≤1. Alors (4.4) implique que �
X
h(1−ψn+1)dµ=
�
X
h(1−ψn+1)ψ 1−ψ dν.
En passant `a la limite quandn→ ∞, on obtient
�
X
hdµ=
�
X
h ψ
1−ψdν pour touth, 0≤h≤1.
En particulier, pour h=IΓ on arrive `a la relation (4.2) avecf = 1−ψψ .
Si µ, ν sont deux mesures v´erifiant les conditions du th´eor`eme 4.2, alors on dit que µ est absolument continue par rapport `a ν, et on ´ecritµ�ν. Dans ce cas, la fonctionf est appel´ee ladensit´edeµpar rapport `aν, et on notef = dµdν. Corollaire 4.3. Soitµ, ν deux mesure de masses totales finies telle queµ�ν.
Alors pour toute fonction g∈L1(X, µ)on a
�
X
gdµ=
�
X
f gdν, o`uf =dµdν.
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