U.T.C. - TF 06

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Durée 2 heures – Une feuille de formulaire autorisée

Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées.

Exercice 1 (6 points) :

Local chauffé

Un local de 4 m de long, 3 m de large et 2,4 m de haut est séparé de l’extérieur par 2 murs d’épaisseur eP = 50 cm et de conductivité thermique  = 0,4 W/m K

L’intérieur de la salle est maintenu à une température de 20°C, grâce à un système de chauffage (radiateur muni d’ailettes à circulation d’eau). Le coefficient de convection interne est hi = 1,5 W/m² °C.

L’air extérieur est à une température de 5°C, le coefficient de convection externe est he = 2 W/m² °C.

mur 1

mur 2 Ti

e = 50 cm

Te 4 m

Salle

Extérieur

Vue de dessus du local

1. Calculer la densité de flux de chaleur perdue par chaque mur.

2. Le système de chauffage est constitué d’un radiateur muni d’ailettes rectangulaires (L = 70 cm, l = 10 cm, b = 1 cm) et espacées régulièrement de e = 2 cm.

La température à la base de l’ailette est T0 = 75°C.

L’efficacité de l’ailette (donnée constructeur) est  = 0,35.

Rappel :   = Flux évacué par l’ailette/Flux idéal.

Le flux idéal étant le flux évacué par l’ailette, si celle ci était dans sa to- talité à la température du pied de l’ailette T0.

L

l b

e

T₀

Calculer le nombre d’ailettes nécessaires pour compenser le flux de déperdition à travers les deux murs du local.

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Exercice 2 (6 points) :

Géométrie sphérique

Une bille métallique de 15 mm de rayon est initialement à une température uniforme de 400°C. Cette bille est soumise à un traitement thermique en deux étapes.

1. Dans la première, on la refroidit dans l’air à 20°C pendant un temps tair nécessaire pour avoir une température au centre de la sphère égale à 320°C. Pendant cette étape, le coefficient à la surface vaut hair=10 W/m²K.

1.1. L’hypothèse d’une résistance thermique interne négligeable est-elle applicable à cette étape ?

1.2. Calculer le temps tair.

2. Dans une deuxième étape, la bille est alors introduite dans un bain d’eau à la tempé- rature de 20°C. Ce bain est fortement mélangé et le coefficient heau vaut alors 6000 W/m²K.

2.1. Quel est le temps requis pour avoir une température au centre de 35°C ? 2.2. Quelle est alors la température à la surface ?

Données :

=90 W/m.K cP=1000 J/kg.K =3000 kg/m³

On pourra, si nécessaire, utiliser les diagrammes fournis, en remarquant que la conductivité  est notée k, que T₀ est la température au centre, et Ti la tempéra- ture initiale, T étant la température du fluide environnant. On note que la diffu- sivité thermique  (m²/s) est bien :

cP





 



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Exercice 3 (8 points) :

La petite maison dans la prairie

Une chaudière de 5 kW est mise en marche continue dans une petite maison demeurée longtemps sans chauffage et dont la température est tombée à 5°C. La température ex- térieure Te demeurant invariablement égale à 5°C, la température intérieure T_i pla- fonne à 30°C, si le chauffage n’est pas coupé (régime permanent).

1. Calculer la résistance thermique globale de l’enveloppe de cette habitation (R_T en K/W).

2. Sachant qu’à l’intérieur, au cours du réchauffement, la température de 20°C a été atteinte au bout de 77 minutes, calculer la capacité thermique globale (C_T=m.c_P) de la maison, exprimée en kJ/K.

Pour cela, on commencera par écrire le bilan thermique, puis on résoudra l’équation différentielle obtenue.

Une régulation tout ou rien est installée pour couper le chauffage dès que la tempéra- ture intérieure atteint 20°C et le remettre en route lorsque celle-ci retombe à 18°C.

3. Calculer le temps de marche et le temps de coupure de la chaudière.

4. En déduire le taux de fonctionnement de celle-ci, défini comme le rapport du temps de marche à la période du cycle.

5. Évaluer la dépense en 24 heures (en kWh).

6. Quelle serait, en régime permanent, sans régulation, la puissance qu’il faudrait main- tenir en continu de manière à conserver rigoureusement 19°C dans la maison.

7. Évaluer la dépense correspondante en 24 heures et la comparer à la précédente.

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Température du centre en fonction du temps dans une sphère de rayon r0

Distribution de la température dans une sphère de rayon r0