U.T.C. - TF 06

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SP & MH ² Problème 1 Page 1 sur 4

Durée 2 heures – Documents de cours et TD autorisés

Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées.

Problème 1 à rédiger sur feuille séparée :

Un bloc métallique parallélépipédique, d’épaisseur e = 1 cm, de surface de base S = 0,5 m², se déplace à vitesse constante v = 10 m/s, parallèlement à un plan horizon- tal fixe P.

A un instant pris comme origine, il entre en contact avec le plan P. La force de frotte- ment F, exercée entre la surface S du bloc métallique et le plan P, est proportionnelle à la surface de contact S et à la vitesse relative v, soit :

F =  S v avec  = 12 N s/m³

On prendra pour le matériau constituant le bloc : masse volumique  = 2800 kg/m³, conductivité thermique  = 160 W/m °C, chaleur spécifique c_P = 880 J/kg °C.

1. Calculer la puissance calorifique  (W) créée par le frottement. On rappelle :

 = F v

L’ensemble de cette puissance est transférée au bloc métallique par sa face inférieure, le plan étant considéré comme parfaitement isolant. La face supérieure du bloc métallique est soumise à une déperdition thermique vers l’air ambiant qui est à la température constante T0 = 20°C. Le coefficient de transfert convectif associé est :

hc = 20 W/m² °C.

2. Calculer le nombre de Biot, caractéristique de l’échange.

3. Écrire l’équation différentielle qui régit la variation de température du bloc métalli- que en fonction du temps, en supposant qu’il était à T0 à l’instant initial.

4. Résoudre cette équation différentielle à variable séparable, et exprimer T(t).

5. Mettre en valeur la constante de temps , ainsi que la température maximale T_max. Calculer  et Tmax.

6. Calculer le temps qu’il faut pour atteindre cette température Tmax à 1°C près.

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SP & MH ² Problème 2 Page 2 sur 4

Problème 2 à rédiger sur feuille séparée :

De l’eau s’écoule en régime permanent, à une vitesse moyenne débitante de

<v> = 1,5 m/s dans une conduite de section droite circulaire, de diamètre intérieur D = 25 mm, et de longueur L = 2,5 m.

L’extérieur du tube est maintenu, sur toute sa longueur, à une température constante de Text = 320 K. La résistance conductive de la paroi métallique du tube peut être négligée.

La température de l’eau à l’entrée du tube est de TE = 293 K, tandis que la température mesurée en sortie est de TS = 295 K.

1. Calculer la puissance thermique  (W) effectivement transférée à l’eau. La masse volumique de l’eau sera prise égale à  = 1000 kg/m³, et sa chaleur spécifique à cP = 4180 J/kg °C.

2. En déduire la conductance effective de transfert U (W/m² °C) de l’échange considé- ré. (U est aussi appelé coefficient d’échange global).

Compte tenu de la faible température de sortie TS mesurée, on fait l’hypothèse de l’existence d’un encrassement, déposé sur la paroi interne du tube, créant ainsi une résis- tance thermique de paroi.

On cherche tout d’abord à justifier cette hypothèse en calculant la conductance de transfert qu’aurait le tube s’il était propre.

3. Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. On prendra la viscosité cinémati- que de l’eau égale à  = 10 ^{- 6} m²/s. En déduire le régime d’écoulement.

4. Si le régime trouvé est turbulent, la conductance de transfert hC, peut être calculée pour l’eau, par la relation suivante, prenant en compte les dépendances des proprié- tés thermo-physiques de l’eau avec la température T (K) :

hC = 1063 ( 1 + 0,00293 T ) <v>^0,8 D ^{- 0,2} ; ( W/m² K)

Calculer la conductance hC en prenant une température moyenne de l’eau égale à Tm = 300 K. Comparer cette valeur à celle trouvée pour la conductance effective U.

Conclure.

5. En déduire la résistance thermique  créée par le dépôt interne (préciser les unités).

6. En admettant que ce dépôt est constitué d’un matériau minéral de conductivité thermique  = 1,5 W/m °C, calculer l’épaisseur e du dépôt existant sur la paroi in- terne du tube.

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SP & MH ² Problème 3 Page 3 sur 4

Problème 3 à rédiger sur feuille séparée :

On transporte de l’oxygène liquide dans un réservoir sphérique, de rayon R1 = 1 m, en- touré d’une sphère concentrique externe, de rayon R2 = 1,2 m.

L’espace clos, entre les deux sphères est rempli d’air, agissant en isolant thermique, vis- à-vis des apports calorifiques extérieurs. On considère, ici, les deux sphères concentri- ques comme ayant des résistances thermiques conductives négligeables.

Un évent (conduit de soutirage S) est disposé sur la sphère intérieure et débouche à l’extérieur de façon à évacuer, en continu, l’oxygène gazeux formé du fait de la vaporisa- tion de l’oxygène liquide sous l’effet de l’apport thermique extérieur, empêchant ainsi la mise en pression du réservoir d’oxygène liquide.

Dans ces conditions, la pression interne du réservoir reste égale à la pression atmosphé- rique, et la température de l’oxygène liquide se maintient à sa température d’ébullition à la pression atmosphérique, soit: T1 = 90 K.

Compte tenu du processus continu d’ébullition de l’oxygène liquide, on pourra supposer cette température T1 uniforme dans le volume du réservoir d’oxygène liquide, et on pourra négliger la résistance convective interne à la sphère interne (de rayon R1).

La température de l’air extérieur est fixée à T₂ = 290 K. Compte tenu du fort taux de renouvellement de cet air extérieur, on pourra également négliger la résistance thermi- que convective extérieure à la sphère externe (de rayon R2).

Les processus d’échange par convection naturelle dans l’espace inter- sphères concentri- ques peuvent être négligés, et on ne prendra en compte, dans ce qui suit, que les échan- ges conductifs et radiatifs entre les deux sphères.

1. Donner l’expression du flux _C d’apport calorifique au réservoir d’oxygène, en ré- gime permanent, par transfert conductif entre la sphère extérieure et le réservoir, en fonction de R1, R2, des températures T1 et T2, et de la conductivité moyenne _am de l’air dans l’espace inter-sphères.

Calculer numériquement la valeur de _C (W).

On donne _am = 0,018 W/m K.

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SP & MH ² Problème 3 Page 4 sur 4

2. On cherche maintenant à calculer l’apport calorifique au réservoir par transfert radia- tif entre les deux sphères. Les émissivités radiatives des matériaux constituant le ré- servoir et la sphère extérieure sont pris respectivement égales à ₁ = 0,5 et ₂ = 0,8.

Donner l’expression du flux radiatif _R échangé entre les deux sphères.

3. Calculer les différents facteurs d’angle mis en jeu, et en particulier F12 . 4. En prenant la constante de Stefan  = 5,67 10 ^{– 8} W/m² K⁴ calculer _R (W).

5. En déduire la valeur _T du flux calorifique total (conductif et radiatif) transféré, en régime permanent, vers le réservoir d’oxygène liquide.

6. Sachant que ce réservoir était initialement rempli à 95% de son contenu volumique maximum, donner la masse minit d’oxygène correspondant.

7. Calculer le temps tM (s) au bout duquel il pourra être livré, rempli à 75%.

Données :

Chaleur latente de vaporisation de l’oxygène, à pression atmosphérique : LV = 215 kJ/kg.

Température d’ébullition de l’oxygène, à pression atmosphérique Te = 90 K Masse volumique de l’oxygène liquide :  = 1140 kg/m³.