U.T.C. - TF 06

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Durée 2 heures – Documents de cours et TD autorisés

Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées.

Exercice 1 (7 points) :

On considère deux plaques horizontales parallèles, de grande surface, séparées par une couche d’air, respectivement aux températures T₁ = 350 K pour la plaque supérieure et T₂ = 300 K pour la plaque inférieure.

La distance entre les deux plaques est : D = 5 mm.

L’émissivité radiative de la plaque chaude est prise égale à ε₁ = 0,8 et celle de la plaque froide ε₂ = 0,9.

1. Calculer la densité J₁ (W/m²) de flux transféré par convection naturelle entre les deux plaques.

Rappel : Corrélations valables en convection naturelle entre des plaques planes :

( )

D C

h Ra

Nu = ×

l

= × avec

a

× n

× D

× b

= ×

×

= g T D³

Pr Gr Ra

o pas de convection Ra < 3×10⁵ C = 0 n = 0

o régime laminaire 3×10⁵ < Ra < 3×10¹⁰ C = 0,27 n = 1/4 o régime turbulent Ra > 3×10¹⁰ C = 0,14 n = 1/3 Données pour l’air :

T (K) ν (m²/s) α (m²/s) λ (W/m.K) 300 15,69×10^–6 22,16×10^–6 0,02624 350 20,76×10^–6 29,82×10^–6 0,03003

2. Calculer la densité de flux J₂ transféré par conduction à travers la couche d’air.

3. Calculer la densité de flux J₃ transféré par rayonnement entre les deux plaques.

(σ = 5,67 x 10^-8 W/m² K⁴) 4. En déduire J_T la densité de flux total transféré.

5. Calculer la variation relative (en %) de la densité de flux total si l’on fait un revête- ment sur la surface froide qui ramène son émissivité à ε₂ = 0,1.

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À rédiger sur une feuille séparée Exercice 2 (9 points) :

Laiterie

Dans une salle de traite, on reçoit du lait à la température corporelle de la vache 38,6 °C. On doit rapidement refroidir ce lait à une température de conservation de 13°C ou moins. L’installation permet de traiter 0,250 m³/h. Pour ce faire, on dispose d’eau du robinet à 10 °C, à un débit de 0,720 m³/h.

On suppose que l’installation est assimilable à un échangeur à contre-courant (coeffi- cient d’échange U = 1000 W/m² K)

1. Évaluer Φ le débit d’énergie mis en jeu (puissance de l’échangeur, en W).

2. Donner la température de sortie de l’eau.

3. Calculer S la surface d’échange nécessaire, puis L la longueur de tuyauterie, sachant que le diamètre du tube interne est de 50 mm.

4. En gardant la surface S calculée ci-dessus, quelle serait la température de sortie du lait si on doublait le débit d’eau de refroidissement ? et la température de sortie de l’eau ?

5. Mêmes questions si on le diminuait de moitié ? Qu’en pensez-vous ? Données :

Lait r = 1030 kg/m³ c_P = 3860 J/kg K Eau r = 1000 kg/m³ c_P = 4187 J/kg K Pour un échangeur à contre-courant :

qml

D

×

×

=

F U S F = e×F_max

min

NUT C S U ×

=

max min

C C_R = C

( )

[ ]

( )

[

]

R

R

C C

C -

× -

× -

-

× -

= -

e 1 1

1 1

NUT exp

NUT

exp ÷

ø ç ö

è æ

e -

× e

× -

= -

1 1 1

1 _R

R

C C ln

NUT

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À rédiger sur une feuille séparée Exercice 3 (4 points) :

Pare-brise

Sur une voiture en stationnement au cours d’une nuit froide où l’air ambiant atteint une température de – 20 °C, une épaisse couche de glace se forme sur le pare-brise d’épais- seur L = 5 millimètres.

Le matin, au démarrage, grâce à un nouveau et puissant système de dégivrage, la surface intérieure est soudainement exposée à un air à 30 °C.

1. En supposant que la glace se comporte comme une couche isolante sur la surface extérieure, quel est la valeur du coefficient de convection intérieur h qui permettrait à la surface extérieure de parvenir à 0 °C en 60 s ?

2. Quelle est alors la température à la surface intérieure ?

l=1,2 W/m.K c_P=830 J/kg.K r=2200 kg/m³

On pourra, si nécessaire, utiliser les diagrammes fournis, en remarquant que la conducti- vité l est notée k, que T₀ est la température au centre (x = 0), et T_i la température ini- tiale, T¥ étant la température du fluide environnant. On note que la diffusivité thermi- que a (m²/s) est bien :

cP

× r

= l

a .

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Température du plan central en fonction du temps dans une plaque plane d’épaisseur 2·L, soumise à des conditions convectives h identiques de part et d’autre (le plan central s’assimile à une paroi isolée)

Distribution de la température dans la même plaque plane d’épaisseur 2·L