Identification expérimentale des réponses impulsionnelles en sortie d’un échangeur à une variation de température d’entrée d’un des fluides

HAL Id: hal-02439983

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02439983

Submitted on 14 Jan 2020

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

de température d’entrée d’un des fluides

Waseem Al Hadad, Vincent Schick, Benoît Pfortner, Denis Maillet

To cite this version:

Waseem Al Hadad, Vincent Schick, Benoît Pfortner, Denis Maillet. Identification expérimentale des réponses impulsionnelles en sortie d’un échangeur à une variation de température d’entrée d’un des fluides. Congrès de la société française de thermique 2019, Jun 2019, Nantes, France. �hal-02439983�

Identification expérimentale des réponses

impulsionnelles en sortie d’un échangeur à une variation de température d’entrée d’un des fluides

Waseem AL HADAD¹, Vincent SCHICK¹, Benoît PFORTNER¹, Denis MAILLET^1*

1

LEMTA, Université de Lorraine & CNRS

2, avenue de la forêt de Haye -BP 90161 -54505 Vandoeuvre cedex

*(auteur correspondant : denis.maillet@univ-lorraine.fr)

Résumé - Une perturbation de température à l’entrée d’un des deux fluides d’un échangeur de chaleur sensible peut être utilisée pour prédire les temperatures des sorties de chaque fluide si ses réponses impulsionnelles sont connues. On identifie ici ces dernières à partir des mesures des temperatures d’entrée et de sortie d’un échangeur à plaques et à ailettes. Ceci permet de caractériser le système en régime dynamique et aussi d’accéder à l’efficacité de l’échangeur, à couple de débits donnés. Ce travail laisse également entrevoir une technique de détection en ligne de l’encrassement.

1. Introduction

Les transferts thermiques transitoires et conjugués (advection et diffusion) dans un système physique hétérogène composé de solides et de fluides en écoulement peuvent être modélisés en utilisant des fonctions de transfert. Ceci nécessite que plusieurs conditions soient remplies. Tout d’abord, l’équation de la chaleur, ainsi que ses conditions limites et d’interface, doivent être Linéaires avec des coefficients Invariants en Temps (LIT). Les propopriétés thermophysiques des milieux constitutifs, ainsi que les champs de vitesse des fluides du système ne doivent dépendre ni de la température, ni du temps. Enfin, le champ de température initial peut être non uniforme, mais il doit alors correspondre à celui d’un régime permanent. A l’instant initial, le système est excité par une source transitoire unique (une puissance thermique ou une différence de température) qui doit être séparable, c'est-à- dire qu’elle doit pouvoir s’écrire comme le produit d’une fonction du temps par une fonction de l’espace. Si toutes ces conditions sont réunies, la réponse du système, en termes de variation de température ou de densité de flux, en tout point du système, s’écrit comme un produit de convolution entre la partie temporelle de la source et une réponse impulsionnelle spécifique, c'est-à-dire une fonction de Green [1, 2]. Cette réponse impulsionnelle est une fonction temporelle, qui est l’original d’une fonction de transfert qui s’écrit, elle, dans l’espace de Laplace.

Ce concept très général est appliqué ici à un échangeur de chaleur à deux fluides, pour lequel une perturbation de température est exercée et mesurée à l’entrée du fluide chaud, tandis que la réponse en température en sortie de chaque fluide est mesurée. Ces dernières sont liées par deux réponses impulsionnelles correspondantes, Ces « transmittances » caractérisent le comportement de l’échangeur en des points d’observation du système.

Chaque transmittance est identifiée expérimentalement à partir des mesures de la

perturbation et de sa réponse. En pratique, l’estimation expérimentale (on parle aussi

d’identification) d’une transmittance nécessite de résoudre un problème de déconvolution,

c'est-à-dire de résolution d’un système d’équations linéaires dont la matrice et le membre de

droite ne sont connus qu’approximativement. Ce type de problème est mal-posé par essence,

du fait de la présence de bruit dans la mesure des 2 températures. Donc une régularisation doit être effectuée afin d’estimer une distribution correcte de la transmittance correspondante.

Une fois les deux transmittances identifiées, le calcul de leurs intégrales temporelles permet de prédire le comportement permanent de l’échangeur et de calculer son efficacité.

Si cette identification est répétée périodiquement, un changement significatif des transmittances, c'est-à-dire un comportement non LIT, pourrait permettre de détecter un changement d’état de l’échangeur, tel qu’un encrassement, à un instant antérieur à sa détection aux mêmes points d’observation en régime permanent. Ceci pourrait permettre l’élaboration d’une nouvelle technique de contrôle non destructif en ligne de ce type de système.

2. Banc expérimental et conditions opératoires

Un échangeur à plaques et ailettes à deux fluides du commerce a été utilisé. Il s’agissait d’un assemblage de trois plaques parallèles rectangulaires de 1 mm d’épaisseur (130 mm x 660 mm) en aluminium définissant deux canaux de sections 10 mm x 103 mm. Chacun de ces derniers était muni d’ailettes internes, et était traversé par un débit d’eau, en configuration d’écoulements co-courants (parallèle), voir la figure 1. Les deux canaux étaient munis d’ailettes internes et l’échangeur n’était pas isolé du milieu ambient. Nous appelons ici respectivement

et

les débits chaud et froid et

et

les chaleurs spécifiques correspondantes.

L’entrée et la sortie de chaque fluide étaient reliés à un bain thermostaté à circulation qui permettait d’alimenter et d’évacuer le débit correspondant au travers d’une nourrice de distribution à quatre branches au sein d’un circuit fermé, voir la figure 2. Nous appelons

) (t

T_h

et

les températures des bains thermostatés. Celles-ci pouvaient être changées manuellement et arbitrairement dans le temps par l’opérateur. Quatre thermocouples gainés (type K), insérés dans les sections amont et aval de chaque nourrice, permettaient des mesures en continu des températures moyennes de mélange à l’entrée et à la sortie de chaque débit. Ces dernières sont appelées respectivement

et

pour le fluide chaud et

et

pour le fluide froid.

Fig. 1. Partie centrale de léhangeur

en mode co-courant. Fig. 2. Banc expérimental.

Avant le début de chaque expérience, les deux thermostats étaient réglés au même niveau de température T_h =T_c =T_∞, où T_∞ est la température ambiante, et on attendait jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint pour les quatre températures d’entrée/sortie mesurées. Une fois cet équilibre atteint, c'est-à-dire lorsque les fluctuations des températures d’entrée atteignaient un niveau stable caractérisé par un écart type statistique constant, le niveau de la température d’entrée du fluide chaud était modifié manuellement à l’instant initial t =0, tandis qu’on ne changeait pas celui du fluide froid qui restait fixé à son niveau initial. Les quatre températures ont été enregistrées à l’aide d’une centrale d’acquisition, avec un pas temporel t. On a donc suivi l’échauffement

) 0 ( - ) ( )

( _in^h _in^h

h

in t =T t T

θ à l’entrée du fluide chaud, qui constituait l’unique source de température de l’échangeur, tandis que l’autre source potentielle de température, la variation de la température d’entrée du fluide froid, θ_in^c(t)=T_in^c(t)-T_in^c(0), était maintenue à un niveau nul, grâce à la régulation assurée par le thermostat froid. Dans le présent travail expérimental, les variations des températures de sortie des deux fluides, θ_out^c (t)=T_out^c (t)-T_out^c (0) et θ_out^h (t)=T_out^h (t)-T_out^h (0), sont les seules réponses mesurées.

3. Procédure d’identification des réponses impulsionnelles

Si le champ des vitesses dans chacun des deux écoulements ainsi que les propriétés thermophysiques de chaque milieu (parois solides et fluides) ne varient pas en temps, le transfert de chaleur transitoire dans le banc représenté dans les figures 1 et 2, est du type LIT. Donc chaque réponse en température,

et

, est un produit de convolution, noté ici ‘*’, entre la source

de température et une réponse impulsionnelle correspondante notée

. Comme la source et chaque réponse ont les mêmes unités physiques (Kelvin), nous appellerons transmittance

(

) cette dernière, voir [1, 3].

Cette transmittance est définie par l’équation suivante : ( ) ( ) * ( ) où ou

θ

t = W t

θ

t i = c h (1) On explicite cette convolution sous forme intégrale:

t' t t t W t'

t t t W

t ⁱ _in^h

h t in t i

i

out() = ( − ')θ (') d = (') θ ( −')d

θ

0

0

(2a,b)

Une fois que les trois fonctions apparaissant dans l’équation (2) ont été soit discrétisées, pour

, avec un pas

, ou paramétrées sur une base de fonctions constantes par morceaux, pour

, on dispose de trois vecteurs-colonne

, W

et

de dimensions

,

étant le nombre d’instants d’échantillonnage considérés. On effectue alors une quadrature numérique des intégrales de la relation (2), pour chaque instant discret, sous une forme utilisant une matrice carrée et deux vecteurs:

i h in h

in i i

out = M

(

)

( )

(3a,b)

Ici les coefficients de

sont les valeurs instantanées correspondantes

, avec t

= j t , pour

1 à

, et

est une fonction matricielle carrée, de dimensions

m

m x

, et dont l’argument est un vecteur-colonne. La valeur de cette fonction a la structure

d’une matrice triangulaire inférieure de Toeplitz définie par:

1

1 1

1

2 1 2

3 2 1 3

0

1 2 1

( ) ( )

1 ( ) d

0 2

( ) où et

pour ou et 1 to

et ( 0) 0 avec 0

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ θ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

−

+ −

−

− −

= ≈ +

≡ =

= =

= =

j

j

t

j j

j

t

h i

in

m m m m

t t

t t t t

W j m

t M

(4a,b) Remarquons que l’approximation (4b) de

est valide si la fonction

est majorée sur

, avec d’éventuelles discontinuités situées uniquement aux bornes de chaque intervalle

. Ici

+

−

tj

ψ

et

sont respectivement les limites à droite et à gauche de

lorsque

tend soit vers

soit vers

. Si

n’est pas bornée sur un tel intervalle, il faut disposer d’une expression analytique

qui doit être intégrée puis divisée par

pour calculer

. C’est le cas par exemple d’une excitation et d’une mesure au même point spatial à l’instant initial pour une plaque solide en conduction pure (réponse face avant), où la limite à droite

est infinie pour une excitation en distribution de Dirac.

Dans le cas d’une fonction continue et bornée sur

, le premier coefficient du vecteur vaut alors ψ

ψ ( ) / 2

, alors que dans le cas d’une fonction discontinue en zéro, elle vaut ψ

( ψ ( )

ψ ( ) ) / 2 =

ψ ( )

car ψ ( )

ψ ( )

ψ ( )

, ce qui est le cas pour un échelon temporel par exemple.

Le problème direct consiste à calculer la sortie

pour une entrée connue

, si le vecteur transmittance

du modèle « boîte grise » (3a,b), qui dépend implicitement des paramètres structuraux de l’échangeur (conductivités, capacités thermiques volumiques, champs de vitesses permanents), est connu.

Dans le problème (expérimental) inverse d’estimation des transmittances, les valeurs de la sortie

et de l’entrée

sont mesurées, avec des mesures entachées d’un bruit. Il est donc nécessaire de résoudre le système (3b), ce qui signifie que, symboliquement, sa matrice

doit être inversée (estimation d’une réponse impulsionnelle à partir de la mesure de la source

et de sa réponse

).

Ici, cette matrice est mal conditionnée, ce qui signifie que la solution du système (3b), en utilisant l’entrée et les sorties expérimentales, est instable [4], du fait de la présence du bruit.

Pour surmonter cette difficulté, c'est-à-dire pour rendre stable l’estimation, une régularisation est nécessaire: la matrice à inverser doit être modifiée pour que sa nouvelle version soit bien conditionnée. Plusieurs techniques de régularisation existent. Ici, seule la régularisation de Tikhonov [5] est utilisée. La solution instable des moindres carrés ordinaires (MCO) est écrite en mettant la matrice du système

sous la forme de sa décomposition en valeurs singulières :

1

avec ( )

=

=

i T i h T

MCO out in

W ˆ V S U M U S V ^{(5a, b)}

où W ˆ

est l’estimation des moindres carrés ordinaires de

,

est la matrice diagonale composée des valeurs singulières

de

(pour i = 1 à m),

la matrice composée de ses

et

la matrice de ses

(colonnes) singuliers à droite

. La version régularisée de (5a, b) s’écrit alors:

+ +

= +

= ⁻¹ with ⁻¹ diag ₂ ¹ ₂ , ₂ ² ₂,..., _{2 2}

2

1 µ µ µ

µ µ

µ

Sm

S S

S S

ˆ ⁱ S ^m

out T

i V S U S

W

(6a, b)

La valeur optimale de l’hyperparamètre de régularisation

est déterminée à l’aide du principe de non-contradiction de Morozov. Elle est choisie de façon à ce que le niveau des résidus soit du même ordre de grandeur que l’écart type du bruit de mesure [5]. Ceci s’écrit:

( ) (

)

σ où

≈ =

i i , rec i i , rec

out out out out

RMQ RMQ

m

(7a, b)

où

est le Résidu Moyen Quadratique,

l’écart type du bruit et

, où l’exposant

“rec”désigne le signal recalculé à partir de l’estimation

, est défini par : ( )

i , rec = h i

out M in Wˆ

(8)

4. R

ésultats expérimentaux : transmittances identifiées

Trois experiences ont été effectuées avec trois distributions temporelles différentes de l’excitation

mesurée. L’excitation

et ses réponses mesurées

and

sont présentées pour les première, deuxième et troisième expériences sur les figures respectives 3, 4 and 5. Les débits massiques

et

des deux fluides avaient les valeurs suivantes:

1,73 min⁻1 h =

m kg.

et

. Le pas temporel d’acquisition était

0.21 s.

L’écart type du bruit

a été estimé:

(avant l’excitation). Ce niveau très bas du bruit est dû à un suréchantillonnage du signal qui est effectué avec une période qui est un sous multiple du pas

. Pour ces trois expériences différentes les deux transmittances identifiées, entre

et ses réponses en temperature

et

, sont représentées dans les figures 6, et 7. Les valeurs optimales correspondantes de

et du résidu moyen quadratique RMQ sont données dans le Tableau 1.

Fig. 3. Variations des températures mesurées lors de la première expérience.

Fig. 4. Variations des températures mesurées lors de la seconde expérience.

Tableau 1. Racine carrée du résidu moyen quadratique RMQ et valeurs optimales de µ

.

Fig. 5. Variations des températures mesurées lors de la troisième expérience.

Fig. 6. Transmittances identifiées entre l’entrée chaude et la sortie froide pour les trois expériences.

Fig. 7. Transmittances identifiées entre l’entrée chaude et la sortie chaude pour les trois expériences.

Les figures 6 et 7 montrent que les transmittances sont bien des grandeurs intrinsèques : elles dépendent implicitement des paramètres structurels du système physique, mais pas de la forme temporelle de l’excitation. On peut remarquer que la transmittance identifiée dans la 3

expérience diffère légèrement des deux autres : cela peut être expliqué par le fait que les débits des deux circuits n’étaient pas parfaitement contrôlés et qu’une variation de débit a pu survenir dans certaines de ces expériences.

Tableau 2. Transmittances de régime permanent.

ss c

Wout^, W_out^h,ss Experience 1 0.627 0.672 Experience 2 0.619 0.674 Experience 3 0.563 0.641

Une transmittance en régime permanent

pour ou

θ θ

≡ =

i ,ss i ,ss h ,ss

out out in

W / i c h , où « ss »

désigne ce régime, est définie pour les niveaux des températures d’entrée du fluide chaud et de sortie des 2 fluides. Elle correspond à leurs niveaux asymptotiques (uniquement observés ici dans la 1

expérience), et est déduite des mesures en régime transitoire, voir [1].

Ces transmittances « permanentes »

and

s ont obtenues par intégration

temporelle des transmittances « transitoires », voir les figures 6 et 7, et sont données dans le

tableau 2.

L’efficacité d’un échangeur de chaleur est définie par:

) (

) (

max min

ss , c in ss , h in

ss , c in ss , c out c c

C C Q

Q

θ θ

θ η θ

−

≡ −

=

(9a, b)

Dans ce travail, on a θ

0 et

, et donc :

(9c) La valeur de cette efficacité, calculée à partir de sa définition (rapport des échauffements sortie/entrée) pour la première expérience est de 0,633. Cette valeur est proche des valeurs obtenues par intégration des transmittances transitoires (9c) qui figurent dans le tableau 2.

On remarque que, pour chaque expérience, la transmittance permanente côté fluide froid

c ,ss

W

est inférieure à son équivalent côté fluide chaud W

: ceci est dû au fait que le flux perdu par le fluide chaud n’est pas totalement récupéré par le fluide froid.

Cette différence d’environ 10 %, pour les expériences 1 et 2, provient certainement des pertes au travers de l’ensemble de la structure solide de l’échangeur, qui n’était pas isolé ici:

la paroi solide séparant les deux écoulements, qui est traditionnellement modélisée par une résistance thermique 1D associée à l’écart de temperature local entre ses deux faces, ne constitue qu’une partie de cette structure et il faut aussi considerer les parois externs, ainsi que le raccordement à l’alimentation et l’évacuation, qui participant aussi au transfert. Ceci est à l’origine des phénomènes de transferts conjugués qui se traduisent par des vecteurs densité de flux non forcément normaux aux interfaces solide/paroi, même si cet effet n’est pas forcément prépondérant en régime co-courant, voir [6, 7, 8, 9 et 10].

4. Conclusions et perspectives

Cet article a montré que les réponses impulsionnelles, appelées aussi fonctions de Green, liant une réponse forcée transitoire à une source thermique unique, pouvaient être identifiées expérimentalement dans le domaine temporel pour un système hétérogène modélisé par des équations linéaires à coefficients invariants en temps, ici un échangeur de chaleur sensible, au sein duquel les transferts thermiques s’effectuent par conduction et convection.

Une fois ces réponses impulsionnelles identifiées, ici des transmittances, qui sont les originaux des fonctions de transfert dans le domaine de Laplace, à l’aide de la résolution régularisée d’un système d’équations linéaires, on peut les utiliser dans différentes applications.

Ainsi, on est capable de calculer très rapidement, en calcul direct, les températures moyennes de mélange en sortie d’échangeur, ou utiliser ces dernières dans le cadre de capteurs virtuels permettant d’estimer la source en fonction de sa réponse, en calcul inverse.

Ces réponses impulsionnelles sont des outils puissants qui peuvent être utilisés en

réduction de modèle (construction d’un modèle convolutif à partir de simulations d’un

modèle détaillé numérique, ou analytique, voir [11]) ou en identification de modèle (à partir

de mesures, voir [12]). Elles permettent également la quantification des performances

énergétiques d’un système à partir de mesures transitoires (évaluation de l’efficacité d’un

échangeur). Enfin, une autre piste mérite d’être explorée, celui du contrôle non destructif

d’un échangeur, afin de détecter un éventuel encrassement de ce dernier, par la répétition

périodique d’une expérience d’identification en ligne, afin de voir si des modifications importantes des transmittances apparaissent.

Remerciements

Les auteurs remercient le Fonds européen ainsi que la Région Grand Est qui ont apporté leur soutien financier au projet EPHAISTSTOS

Références

[1] Al Hadad, W., Maillet, D., Jannot, Y. (2017) Modeling unsteady diffusive and advective heat transfer for linear dynamical systems: A transfer function approach, Int. J. Heat Mass Transf.

115 (Part A) 304-313.

[2] Degiovanni, A. and Remy, B. (2006) An alternative to heat transfer coefficient: a relevant model of heat transfer between a developed fluid flow and a non-isothermal wall in the transient regime, Int. J. Therm. Sci. 102 (April) 62–77.

[3] Al Hadad, W., Maillet, D., Jannot, Y. (2018) Experimental transfer functions identification:

Thermal impedance and transmittance in a channel heated by an upstream unsteady volumetric heat source, Int. J. Heat Mass Transf. 116 (January) 931–939.

[4] Beck, J.V., B. Blackwell, and C. R. S. Clair Jr, Inverse heat conduction : Ill-posed problems, 1985, James Beck, John Wiley and Sons.

[5] Aster, R.C., B. Borchers, and C. H. Thurber, Parameter estimation and inverse problems, 2012, Elsevier Academic Press.

[6] Herwig, H., O. Hausner (2003) Critical view on “new results in micro-fluid mechanics”: an example, Int. J. Heat Mass Transf.,46 (5) 935–937.

[7] Maranzana, G., Perry, I., Maillet, D. (2004) Mini and micro-channel : influence of axial conduction in walls, Int. J. Heat Mass Transf., 47 (17-18) 3993-4004.

[8] Dorfman, A.S., Conjugate convective heat transfer, Retrieved Dec., 2018, from https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_convective_heat_transfer (Dec. 11, 2018).

[9] Vera, M. and Quintero, A.M. (2018) On the role of axial wall conduction in mini/micro counterflow heat exchangers, Int. J. Heat Mass Transf., 116 (January) 840–857.

[10] Morini, G.L. (2004) Single-phase convective heat transfer in microchannels: a review of experimental results, Int. J. Thermal Sc. 43 (7) 631–651.

[11] Al Hadad, W., Schick, V., Maillet, D., Caractérisation transitoire d’un échangeur de chaleur à tubes et calandre par identification de ses fonctions de transfert , Actes du Congrès Français de Thermique, SFT 2018, 29 mai au 1er juin 2017, Pau.

[12] Al Hadad, W., Jannot, Y., Schick, V., Rémy, B., Maillet, D., Transient characterization of a heat exchanger through identification of its transfer functions, Paper IHTC16-21381, Proceedings of the International Heat Transfer Conference (IHTC-16), Beijing, August 10- 15, 2018.