U.T.C. - TF 06

Durée 2 heures – Une feuille de formulaire autorisée

Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées.

Exercice 1 (7 points) :

(les 3 parties sont relativement indépendantes)

De la vapeur surchauffée, de température T_v = 650°C, circule à l’intérieur d’une longue conduite rectiligne en acier (λ₁ = 20 W/m K) de rayon intérieur R₀ = 25 cm et de rayon extérieur R₁ = 30 cm (voir figure 1). On souhaite isoler cette conduite avec de la ma- gnésie (λ₃ = 0,08 W/m K).

La température de ce matériau ne pouvant excéder T_m = 300°C, on dispose entre le tube et la magnésie un isolant haute température de conductivité thermique λ₂ = 0,1 W/m K.

Cette canalisation circule à l’intérieur d’une pièce, de température T_a = 20°C. Les coef- ficients d’échanges convectifs vapeur-tube et magnésie-air ambiant valent respective- ment : h_i = 120 W/m² K et h_e = 30 W/m² K.

Figure 1

T₀, T₁, T₂, T₃ sont les températures des surfaces correspondant respectivement aux rayons R₀, R₁, R₂, R₃.

λ₁, λ₂, λ₃ sont les conductivités thermi- ques correspondant respectivement aux épaisseurs e₁, e₂, e₃.

h_i et h_e sont les coefficients d’échange convectif entre les surfaces et les fluides intérieur et extérieur.

1. Pour des raisons techniques, l’épaisseur de magnésie est fixée à e₃ = 10 cm. Détermi- ner l’épaisseur e₂ de la couche d’isolant haute température répondant aux contraintes.

Quel est, dans ces conditions, le débit d’énergie (flux thermique) perdu par unité de longueur de tube ?

Toute méthode numérique ou graphique pour trouver l’épaisseur e₂ sera acceptée, mais un minimum d’explications devront être données.

Évaluer la température T à la surface extérieure de la magnésie.

Figure 2

On cherche à évaluer les pertes que leur présence occasionne à partir des hypothèses suivantes :

ü les couches isolantes ont, le long des pattes, une épaisseur totale L_i = 30 cm, ü le flux transitant de la patte vers l’isolant est nul (pas de dispersion axiale), ü la température dans la patte ne dépend que de la variable x,

ü le plafond est une paroi adiabatique (flux nul en bout d’ailette).

· Donner l’expression du flux dans la partie de l’ailette encastrée dans l’isolant.

· Donner l’expression du flux dans la partie de l’ailette en contact avec l’air ambiant.

· Calculer le flux thermique (débit d’énergie) évacué par chaque patte de scellement.

· Calculer l’accroissement relatif de flux perdu auquel cela correspond. (cette question est la seule à ne pas être indépendante de la première partie).

3. Les considérations précédentes attribuent à T_v une valeur constante et uniforme : que pensez-vous de cette hypothèse ? Écrire, dans une zone sans patte de scellement, l’équation de bilan dont l’intégration permettrait de traiter complètement le problème thermique.

Exercice 2 (8 points) :

Mesure de la conductivité thermique.

On souhaite réaliser la mesure de la conductivité thermique d’un matériau isolant.

A cet effet on réalise le montage suivant (cf. figure ci-dessous)

On applique sur les faces de l’échantillon à analyser (barreau cylindrique de diamètre d = 4 cm et d’épaisseur e = 3 cm) un flux de chaleur grâce au dispositif suivant :

De part et autre de l’échantillon, on installe :

· un échangeur de chaleur qui impose une température constante T_chaud sur la partie supérieure et T_froid sur la partie inférieure.

· on intercale de part et d’autre, 2 blocs en acier identiques de même diamètre que l’échantillon d’épaisseur e_acier = 5 cm, de conductivité connue

(l_acier = 25 W/m °C) et instrumentés en température (3 thermocouples sur cha- que blocs d’aciers espacés de e₁ = 2 cm, qui donnent la température dans l’axe).

L’ensemble du dispositif est parfaitement calorifugé latéralement.

T4 T1 T2

e1

e T3

e₁ e1/4 e1/4

T

T

T5 e1

T6 e1

e1/4 e1/4

Echantillon Acier

Acier

Calorifuge

T1 (°C) T2 (°C) T3 (°C) T4 (°C) T5 (°C) T6 (°C)

101 ,5 99 96 ,5 36 33,5 31

Tracez le profil de température. Peut-on considérer le relevé de température satisfai- sant ? Justifiez votre réponse.

Calculer alors le flux de chaleur F (W) ainsi que la densité de flux de chaleur (W/m²), traversant le dispositif.

3/ Déterminer la conductivité thermique du matériau (l_matériau en W/m °C).

4/ La valeur ainsi mesurée apparait sous estimée. En fait, dans le dispositif mis en place, le contact Acier/Matériau n’est pas parfait. Il en résulte une résistance de contact sur chacune des faces du matériau en contact avec les blocs d’acier.

Pour en tenir compte, on renouvelle l’expérience en prenant le même matériau à une autre épaisseur e’ = 4 cm.

On relève les températures :

T’1 (°C) T’2 (°C) T’3 (°C) T’4 (°C) T’5 (°C) T’6 (°C)

101 99 97 35 33 31

Écrire les équations de bilans pour les deux expérimentations (avec les deux échantillons d’épaisseur e et e’) en tenant compte des résistances de contact.

En déduire la conductivité thermique vraie du matériau.

5/ Calculer la valeur de la résistance de contact.

6/ Tracer le profil de température du dispositif avec le premier échantillon d’épaisseur e = 3 cm.

Echantillon

Acier

T

T’

DT Résistance

de contact

Exercice 3 (5 points) :

Estimer le temps nécessaire pour cuire un hot-dog dans l’eau bouillante.

On suppose que le hot dog est initialement à 6 °C, que le coefficient de transfert de cha- leur par convection est de 100 W/m² K, et que la température finale doit être de 80°C au centre (axe central).

Quelle est à ce moment la température à la surface ?

Traiter le hot-dog comme un long cylindre de 20 mm de diamètre ayant les propriétés : l=0.52 W/m.K c_P=3350 J/kg.K r=880 kg/m³

On pourra, si nécessaire, utiliser les diagrammes fournis, en remarquant que la conductivité l est notée k, que T₀ est la température au centre (axe central), et T_i la température initiale, T¥ étant la température du fluide environnant. On note que la diffusivité thermique a (m²/s) est bien :

cP

× r

= l a

Distribution de la température dans un cylindre de rayon r₀