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Texte intégral

(1)

www.chez.com/myismail©2002

MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

°4 Mercredi le:25-Septembre-2002

Nombres reels

Généralités

1. Montrer que 2 + 3 ∉ Q

2. Soit A une partie de IR bornée non vide,montrer que: sup|x−y| /

x,yAxA = supAinfA

3. Soit nIN etxi0inune famille de réels de l’intervalle0, 1.montrer que :∃i,j ∈ 0, 12tel que: |xixj| ≤ 1n.lemme des tiroirs

4. Quelles sont les bornes inférieures et supérieures(quand elles existent des ensembles suivants):

A = 1n +−1n/nIN B = n2+ 1+−n1n /nIN C = Ex+E1x /x > 0

D =pp+qq+1 /p,qIN2avec pq 5. Soit nIN Montrer que: nn ≤ 1+ 2n

Sommation

1. Soit nIN .Soientxi1inetyi1indeux familles de réels.

a. Démontrer la formule:

i=1 n

xiyi 2

+

1i<jn n

xiyixjyj2 =

i=1 n

xi

2

i=1 n

yi 2

b. En déduire l’inégalité de GauchyShwarz:

i=1 n

xiyi 2

i=1 n

xi 2

i=1 n

yi 2

2. Soit nIN et a1,a2, ...,andes éléments de IR∗+.Montrer que:

i=1 n

ai

i=1 n

1

ain2

3. Soit nIN et a1,a2, ...,andes éléments de0, 1.Etablir que l’un au moins des deux produits

i=1 n

aiou

i=1 n

1−aiest inférieur ou égale a2n.

4. Soit x > 0et nIN Montrer que:

k=1 n

1

x+k21x + x1+n

(2)

Partie Entière

1. soit nIN,xIR Montrer que:EEnnx = Ex.

2. a. Montrer que:∀x ∈ IR,Ex+E−x = −1si xZet Ex+E−x = 0si xZ.

b. En déduire que si p et q sont deux entiers naturels premier entre eux alors:

k=1 q−1

E kpq = p12q1

3. Soit nIN,xIR,montrer que:

k=1 n1

.Ex+ nk  = Enx

4. a. Démontrer que:∀nIN:E n + n+1 = E 4n+2 b. Soit nIN,calculer:

k=1 n

E k et

k=1 n

E k+3k k

5. Soit x > 0et nIN Montrer que:

k=1 n1

.Ex+nk  = Ex6. a. Monter que∀x ∈ IR+ on a: 2xx++25 − 5 ≤ 18 x− 5

b. Soit nIN,Montrer que n+1 − n21nn+1 − n

c. En déduire la valeur de E 12

k=1 104

1 k

d. Calculer pour tout nIN E

k=1 n2

k

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