U.T.C. - TF 06

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Sauf : 2 feuilles de formulaire autorisées

Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées.

Exercice 1 (8 points) :

On se propose d’étudier de manière extrêmement simplifiée le bilan radiatif global du système terre-atmosphère. Considéré dans son ensemble, ce système ne peut échanger de l’énergie avec l’espace que sous forme radiative.

1. On supposera que le soleil rayonne comme un corps noir à la température de 5800 K. Calcu- ler son émittance totale M⁰ en W/m². En déduire la luminance du soleil L en W/(m² sr), en supposant qu’il se comporte comme une source diffuse, c’est-à-dire qu’il rayonne avec la même intensité énergétique dans toutes les directions (loi de Lambert).

2. Calculer l’angle solide W sous lequel le soleil voit la terre. En déduire le flux de chaleur (en W) reçu par la terre, en négligeant l’existence de l’atmosphère.

3. Retrouver la valeur de la constante solaire C (environ 1400 W/m²), exprimant la puissance reçue par une surface de 1 m², négligeant la présence de l’atmosphère.

Données :

Constante de Stefan-Boltzmann : s = 5,67 10^–8 W/(m² K⁴) Rayon de la terre : R_T = 6 380 km

Distance moyenne terre – soleil : DTS = 150 000 000 km Rayon du soleil : RS = 696 000 km

B – Capteur solaire

On considère un capteur solaire, formé de deux plaques carrées de coté L = 1 m, horizontales et parallèles, distantes d’une épaisseur e (e négligeable devant L). La plaque supérieure, face au rayonnement solaire, est constituée d’un vitrage, transparent dans le visible, mais parfaitement absorbant dans les grandes longueurs d’ondes (infrarouge). La plaque inférieure est revêtue d’un enduit la rendant assimilable à un absorbant parfait, pour toutes les longueurs d’ondes (corps noir), et est parfaitement isolée thermiquement en face arrière. L’espace inter-plaque a été pré- alablement tiré au vide, le support des plaques assurant l’étanchéité du capteur.

L’air ambiant est supposé calme (absence de convection forcée), et à la température uniforme et constante de T₀.

La conductance de transfert par convection naturelle, dans l’air, et pour une plaque horizontale, la convection libre ayant lieu au dessus de la plaque, est donnée par la relation :

(

)

÷ø ç ö è æ qD

×

=132 ⁰²⁵

,

, L

h_CN

Dq étant l’écart de température entre la plaque et l’air ambiant, et L étant l’échelle caractéristi- que de longueur de la plaque.

Calculer les températures TV et TP (°C), respectivement atteintes, en régime permanent, par le vitrage et par la plaque de fond, pour une température ambiante de T0 = 20°C, lorsque le dispo- sitif est soumis à une densité de flux radiatif j = 850 W/m², dans le visible (rayonnement solaire qui tient compte de la présence de l’atmosphère terrestre), en incidence normale, par rapport aux plaques, du haut vers le bas.

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À rédiger sur une feuille séparée Exercice 2 (5 points) :

On se propose de refroidir un courant d’huile chaude (débit m1 = 150 kg/min) de 120°C à 60°C dans un échangeur à courants croisées (simple passe). L’huile est le fluide brassé. L’eau indus- trielle, fluide non brassé, entre à la température de 10°C, avec un débit de 90 kg/min.

Le coefficient de transfert global de l’échangeur est estimé à U = 400 W/m²·K.

Évaluer la surface d’échange nécessaire pour obtenir le résultat souhaité. On n’oubliera pas d’expliciter les valeurs de la puissance calorifique échangée F, ainsi que NUT, e, T_2S.

Que se passe-t-il si le débit d’eau baisse à 50 kg/min ? Donner, en particulier les températures de sortie des 2 fluides, ainsi que les autre paramètres (F, NUT, ^e).

Données :

cP1 = 1700 J/kg·K (huile) cP2 = 4180 J/kg·K (eau)

Pour un échangeur à courants croisés comportant un fluide brassé et un fluide non brassé, on utilise les formules suivantes :

( )

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

ïï þ ïï ý ü

úú û ù êê

ë é

÷÷ø çç ö

è

æ - - ×

- -

= e

÷÷ø çç ö

è

æ + × -e

-

=

îí ì ïï þ ïï ý ü -

-

× -

= - e

úû ê ù

ë

é -e×

+ -

=

brassé nonbrassé brassébrassé non

max min max min

NUT exp exp

ln NUT ln

NUT exp exp

ln ln NUT

CC C

C C

C

CC C

C C

C

R R R

R R R

R R

1 1

1 1

1 1

1 1

min max

max

min NUT

C S U C

C_R C ×

F =

= F e

=

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À rédiger sur une feuille séparée Exercice 3 (7 points) :

On désire réchauffer un fluide assimilable à de l’eau sous la pression atmosphérique dans une cuve agitée à l’aide d’un mobile de type hélice marine, par l’intermédiaire d’une double envelop- pe parcourue par de la vapeur saturante 2 bars (120°C) à fort débit.

Les caractéristiques géométriques de la cuve agitée, assimilable à un cylindre sont :

• Diamètre de la cuve D = 1 m

• Diamètre de l’agitateur d = 0,3 m

• Nombre de tours par seconde de l’agitateur N = 6 tours/seconde

• Hauteur de liquide H = 1 m Les caractéristiques du fluide agité sont :

• Viscosité dynamique m = 1 mPa s

• Masse volumique r = 1000 kg/m³

• Chaleur spécifique CP = 4180 J/kg·K

• Conductivité thermique l = 0,6 W/m²·K

On néglige la résistance thermique conductive de la paroi de la double enveloppe.

On suppose l’ensemble parfaitement isolé thermiquement et les propriétés thermiques du fluide constantes.

1. Calculer le nombre de Reynolds d’agitation

m r

×

=N×d²

ReA

On considère le régime turbulent atteint si Re_A³10⁵

2. On admettra qu’en régime turbulent, et pour un mobile de type hélice marine, la puissance mécanique P(W) dissipée dans le fluide par frottement ne dépend plus de la viscosité du fluide et vaut :

5 3 d N ×

× r

×

=N_po P

où Npo, est le nombre de puissance du mobile. Ici, Npo = 0,37.

En déduire l’élévation de température au cours du temps T(t) du liquide en l’absence de chauf- fage externe, pour une température initiale de l’eau T₀ = 20°C.

Déterminer le temps nécessaire à atteindre l’ébullition t1. Commenter.

3. On revient à l’état initial (T0 = 20°C) et on cherche le temps t2 nécessaire à atteindre l’ébullition par chauffage externe.

On admettra que la corrélation applicable au transfert entre le fluide et la paroi mouillée de la double enveloppe est :

l

×

=m m

r

×

= × l

= ×

×

×

=

A P c

A

C d

N D

h Re Pr

Nu

Pr Re ,

Nu ^{/ /}

2 3 1 3

54 2

0

: avec

Calculer le coefficient de transfert hc (W/m²·K).

En déduire la loi de variation de la température au cours du temps T(t). Calculer le temps t2

nécessaire pour atteindre l’ébullition.

4. Établir une corrélation donnant le temps t en fonction de N et m dans la limite de Re_A³10⁵. La présenter graphiquement en représentant t en fonction de N paramétré en viscosité m.