σ2 exp µ Kσ1σ2+1 2H(σ1+σ2

Statistical Physics 3 20 November 2009

Corrig´e 10

a) On s´epare les sommes dans la fonction de partition:

Z= ∑

σ₁,σ₃,...

£∑σ₂exp¡

Kσ₁σ₂+¹₂H(σ₁+σ₂)¢ exp¡

Kσ₂σ₃+¹₂H(σ₂+σ₃)¢

∑_σ4exp¡

Kσ₃σ₄+¹₂H(σ₃+σ₄)¢ exp¡

Kσ₄σ₅+¹₂H(σ₄+σ₅)¢ . . .¤ On pose:

Cexp µ

K⁰σ₁σ₃+1

2H⁰(σ₁+σ₃)

¶

=

= ∑

σ₂

exp µ

Kσ₁σ₂+1

2H(σ₁+σ₂)

¶ exp

µ

Kσ₂σ₃+1

2H(σ₂+σ₃)

¶

=

= exp µ1

2H(σ₁+σ₃)

¶

∑σ₂

exp(Kσ₂(σ₁+σ₃) +Hσ₂) =

= exp µ1

2H(σ₁+σ₃)

¶

2 cosh(K(σ₁+σ₃) +H) (1)

b) On ´evalue l’´egalit´e (1) pourσ₁=σ₃=1,σ₁=−σ₃=1 etσ₁=σ₃=−1.





e^H2 cosh(2K+H) =Ce^K0+H0 2 cosh(H) =Ce^−K0

e^−H2 cosh(2K−H) =Ce^K0−H0 Apr`es quelques manipulations on obtient:









H⁰=H+¹₂ln

³cosh(2K+H) cosh(2K−H)

´

K⁰=¹₄ln

³cosh(2K+H)cosh(2K−H) cosh²H

´

C²=4 cosh(H) (cosh(2K+H)cosh(2K−H))¹² c) SiK^∗=0, on voit imm´ediatement queK^∗0=0 etH⁰=H ∀H.

SiH^∗=0 etK^∗=∞,H^∗0=0 etK^∗0=∞car le cosinus hyperbolique croit comme l’exponentiel.

d) PourH petit on a:

H⁰ = H+1 2ln

µcosh(2K+H) cosh(2K−H)

¶

= H+1 2ln

µcosh(2K) +sinh(2K)H cosh(2K)−sinh(2K)H

¶

= H+1 2ln

µ1+tanh(2K)H 1−tanh(2K)H

¶

= H+Htanh(2K) (2)

1

De mˆeme:

K⁰ = 1 4ln

µcosh(2K+H)cosh(2K−H) cosh²H

¶

= 1

4ln((cosh(2K) +sinh(2K)H)(cosh(2K)−sinh(2K)H))

= 1 4ln¡

(cosh²(2K)¢

= 1

2ln((cosh(2K))

⇔tanh(K⁰) = cosh¹²(2K)−cosh⁻¹²(2K) cosh¹²(2K) +cosh⁻¹²(2K)

= cosh(2K)−1 cosh(2K) +1

= tanh²(K) (3)

e) On lin´earise la transformation autour de (v^∗=1,H^∗=0). Dans le cas d’une application, un point d’´equilibre est stable si toutes les valeurs propres de l’application lin´earis´ee ont un module plus petit que 1.

Dans notre cas nous avons:







v⁰=v² H⁰=H³

1+_1+v^2v₂´ La lin´earisation est donn´ee par la matrice suivante:

à 2v 0

2H_(1+v^1−v₂²₎₂ 1+_1+v^2v₂

!

Evalu´ee en(v^∗=1,H^∗=0)la matrice vaut:

µ 2 0 0 2

¶

Cette matrice admet deux valeurs propresλ1=λ2=2. Le point est donc instable. Physique- ment cela veut dire que d`es que l’on se trouve `a une temp´erature diff´erente de 0, le syst`eme s’´eloigne de la phase ferromagn´etique (donc absence de transition de phase)

Autour dev^∗=0 et pour desH petit, la transformation lin´earis´ee est donn´ee par:

µ 0 0 2H 1

¶

On peut en conclure que la vari´et´e selon l’axev est stable car la valeur propre vaut 0. Donc aussitˆot queT 6=0, le syst`eme tend vers le pointv=0. Par contre nous ne pouvons rien dire concernantH, sinon qu’il se comporte selon une loi de puissance et non selon une exponentielle,

´etant donn´e que la valeur propre vaut exactement 1.

2