Corrig´e de l’exercice 3.19
Ir` ene Waldspurger
(waldspurger@ceremade.dauphine.fr)
Exercice 3.19
Donner le domaine de d´ efinition et de d´ erivabilit´ e et calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes :
(a) f
a: x →
x−2x+1;
(b) f
b: x →
x3+3xx2−2x+12+3x+1; (c) f
c: x →
cos(x)x+1; (d) f
d: x →
exx−2;
(e) f
e: x →
xarcsin(x)2−2x+2; (f) f
f: x →
x4+2xex2+1. Correction
(a) La fonction f
aest d´ efinie et d´ erivable en tous les points o` u son d´ enominateur ne s’annule pas, comme quotient de fonctions d´ efinies et d´ erivables sur R . Elle est donc d´ efinie et d´ erivable sur R \{−1}.
Pour tout x ∈ R \{−1},
f
a0(x) = (x + 1) − (x − 2) (x + 1)
2= 3
(x + 1)
2.
(b) Remarquons d’abord que le d´ enominateur de f
bvaut x
3+ 3x
2+ 3x + 1 = (x + 1)
3. Il s’annule seulement en x = −1 donc f
best d´ efinie sur R \{−1}.
Pour tout x ∈ R \{−1},
f
b(x) = (x − 1)
2(x + 1)
3= (x − 1)
2(x + 1)
−3.
1
Notons
f
b,1: x ∈ R → (x − 1)
2; f
b,2: x ∈ R \{−1} → (x + 1)
−3.
Ces deux fonctions sont d´ erivables sur tout leur ensemble de d´ efinition, puisqu’elles sont compos´ ees de fonctions d´ erivables sur leur ensemble de d´ efinition : f
b,1est la compos´ ee de (x → x − 1) et (x → x
2) et f
b,2de (x → x + 1) et (x → x
−3). Leur d´ eriv´ ee se calcule ` a l’aide de la formule de d´ erivation des compos´ ees :
∀x ∈ R , f
b,10(x) = 2(x − 1);
∀x ∈ R \{−1}, f
b,20(x) = (−3)(x + 1)
−4.
Comme produit de deux fonctions d´ erivables sur leur ensemble de d´ efinition, f
best donc d´ erivable sur son ensemble de d´ efinition, R \{−1}.
Pour tout x ∈ R \{−1},
f
b0(x) = f
b,10(x)f
b,2(x) + f
b,1(x)f
b,20(x)
= 2(x − 1)(x + 1)
−3− 3(x − 1)
2(x + 1)
−4= (x − 1) (2(x + 1) − 3(x − 1)) (x + 1)
4= (x − 1)(5 − x) (x + 1)
4.
(c) La fonction f
cest un quotient de fonctions d´ erivables sur R . Elle est donc d´ efinie et d´ erivable en tous les points o` u son d´ enominateur ne s’annule pas, c’est-` a-dire sur R \{−1}.
D’apr` es la formule de d´ erivation d’un quotient, pour tout x ∈ R \{−1}, f
c0(x) = cos
0(x)(x + 1) − cos(x) × 1
(x + 1)
2= −(x + 1) sin(x) − cos(x) (x + 1)
2.
(d) La fonction f
dest un quotient de fonctions d´ erivables sur R . Elle est donc d´ efinie et d´ erivable en tous les points o` u son d´ enominateur ne s’annule pas, c’est-` a-dire sur R \{ln(2)}.
2
D’apr` es la formule de d´ erivation d’un quotient, pour tout x ∈ R \{ln(2)}, f
d0(x) = 1 × (e
x− 2) − xe
x(e
x− 2)
2= −xe
x+ e
x− 2 (e
x− 2)
2.
(e) Remarquons tout d’abord que le d´ enominateur de f
evaut x
2− 2x + 2 = (x − 1)
2+ 1. Pour tout x ∈ R , (x − 1)
2+ 1 ≥ 1 donc le d´ enominateur ne s’annule jamais.
1Ainsi, f
eest le quotient d’une fonction d´ efinie sur [−1; 1] et d’une fonction d´ efinie sur R ne s’annulant pas ; f
eest d´ efinie sur [−1; 1].
Puisque arcsin est d´ erivable sur ] − 1; 1[ et (x → x
2− 2x + 2) est d´ erivable sur R et ne s’annule pas, f
eest d´ erivable sur ] − 1; 1[, par quotient. Pour en d´ eduire que son domaine de d´ erivabilit´ e est exactement ] − 1; 1[, il faut montrer qu’elle n’est d´ erivable ni en −1 ni en 1.
2Pour tout x ∈ [−1; 1],
arcsin(x) = f
e(x)(x
2− 2x + 2).
Ainsi, si f
e´ etait d´ erivable en −1 (ou en 1), arcsin serait d´ erivable en −1 (ou en 1), comme produit de deux fonctions d´ erivables en −1 (ou en 1). Or arcsin n’est pas d´ erivable en −1 (ni en 1) ; f
ene l’est donc pas non plus.
Ainsi, le domaine de d´ erivabilit´ e de f
eest ] − 1; 1[.
Pour tout x ∈] − 1; 1[,
f
e0(x) = arcsin
0(x)(x
2− 2x + 2) − arcsin(x)(2x − 2) (x
2− 2x + 2)
2=
x√2−2x+2
1−x2
− 2(x − 1) arcsin(x) (x
2− 2x + 2)
2= 1
(x
2− 2x + 2) √
1 − x
2− 2 (x − 1) arcsin(x) (x
2− 2x + 2)
2.
(f) Remarquons tout d’abord que le d´ enominateur de f
fest x
4+ 2x
2+ 1 = (x
2+ 1)
2. Comme x
2+ 1 6= 0 pour tout x ∈ R , il ne s’annule pas sur R .
1. On pouvait aussi le voir en calculant le discriminant du polynˆomeX2−2X+ 2.
2. Ce raisonnement est assez semblable `a celui de la question e) de l’exercice 3.18.
