Examen - Surfaces de Riemann - 31/10/2014

Examen - Surfaces de Riemann - 31/10/2014

Dur´ ee de trois heures. Les notes de cours sont autoris´ ees, pas les t´ el´ ephones por- tables. On admettra que toute application “naturellement d´ efinie” est holomorphe, enfin, on notera K _X le fibr´ e canonique sur la surface de Riemann X.

Exercice 1 : Soit X = {(x, y) ∈ C ² , x ² y + y ² x + 1 = 0}

1. Montrer que X est une surface de Riemann.

2. On note ˆ X = {[x, y, z] ∈ P ² , xy ² + yx ² + z ³ = 0}. Montrer que ˆ X est une surface de Riemann et que l’application ˆ ϕ : X → X ˆ d´ efinie par ˆ ϕ(x, y ) = [x, y, 1] permet d’identifier X ` a ˆ X priv´ ee d’un nombre fini de points. Quel est le genre de ˆ X ?

3. On note ˜ X = {([x, t], [y, s]) ∈ ( P ¹ ) ² , x ² ys + y ² xt + s ² t ² = 0} ⊂ P ¹ × P ¹ . Montrer que ˜ X est une surface de Riemann et que l’application ˜ ϕ : X → X ˜ d´ efinie par ˜ ϕ(x, y) = ([x, 1], [y, 1]) permet d’identifier X ` a ˜ X priv´ ee d’un nombre fini de points.

4. D´ eterminer les points de ramification de l’application p ₁ : ˜ X → P ¹ induite par la premi` ere projection. En d´ eduire le genre de ˜ X.

5. Soit X et Y deux surfaces de Riemann compactes et connexes, P ⊂ X et Q ⊂ Y deux parties finies et ϕ : X \ P → Y \ Q un biholomorphisme.

Montrer que ϕ s’´ etend en un biholomorphisme de X vers Y . Comparer les genres de ˆ X et ˜ X.

Indication : on consid` erera des suites exhaustives de compacts de X \ P et Y \ Q puis on utilisera le fait qu’une fonction holomorphe et born´ ee sur {z ∈ C , 0 < |z| < 1} se prolonge de mani` ere holomorphe ` a {z ∈ C , |z| < 1}.

Exercice 2 : Soit P ∈ C [X, Y, Z] un polynˆ ome homog` ene de degr´ e d > 0 et X = {[x, y, z] ∈ P ² , P (x, y, z) = 0}. On suppose que X est une surface de Riemann. Pour p ∈ P ² , on note D _p ⊂ C ³ la droite repr´ esent´ ee par p et i : X → P ² l’inclusion.

1. Soit ˆ X = {(x, y, z) ∈ C ³ \ {0}, P (x, y, z) = 0} et π : ˆ X → X la projection canonique. Pour tout p ∈ X, on d´ efinit ϕ : D _p → T _p X par ϕ(u) = d _u π(v) o` u v et w sont deux vecteurs qui v´ erifient les ´ equations

det(u, v, w) = 1, d u P (v) = 0, d u P (w) = 1.

Montrer que ϕ est bien d´ efinie et v´ erifie ϕ(λu) = λ ^d−3 ϕ(u). En d´ eduire que les fibr´ es K _X et i ^∗ O(d − 3) sont isomorphes.

2. D´ eduire de l’isomorphisme ci-dessus une nouvelle preuve de la formule re-

liant genre et degr´ e.

3. Montrer que l’application qui ` a toute forme lin´ eaire sur C <sup>3</sup> associe sa res- triction ` a X induit une application injective C ³ → H ⁰ (X, K). En d´ eduire que si d = 4, le plongement canonique de X s’identifie ` a l’inclusion de X dans P ² .

4. Soit X une quartique dans P ² (i.e. d = 4). Montrer que tout automorphisme de X se prolonge ` a P ² .

Exercice 3 : Soit q une forme quadratique sur C ³ de matrice A. On appelle quartique de Ciana le lieu

C _q = {[x, y, z] ∈ P ² , q(x ² , y ² , z ² ) = 0}

1. Montrer que C _q est une surface de Riemann si et seulement si q est non- d´ eg´ en´ er´ ee et les coefficients diagonaux de A et A ⁻¹ sont non nuls.

2. Montrer que le groupe ( Z /2 Z ) ² agit sur C q fid` element et holomorphique- ment.

3. R´ eciproquement, si X est une quartique dans P ² qui admet deux involutions distinctes et non triviales qui commutent, prouver que X est isomorphe ` a C _q pour un certain q.

Indication : On utilisera la derni` ere question de l’exercice pr´ ec´ edent.

4. Soit σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ∈ Aut(C _q ) les applications donn´ ees par σ ₁ ([x, y, z]) = [−x, y, z], σ 2 ([x, y, z]) = [x, −y, z], σ 3 ([x, y, z]) = [x, y, −z]. Construire une applica- tion holomorphe π : C _q → P ¹ invariante par σ ₁ , σ ₂ et σ ₃ et calculer son degr´ e.

5. Pour i ∈ {1, 2, 3}, on admet qu’il existe une structure de surface de Rie- mann sur E _i = C _q / ∼ _i o` u x ∼ _i σ _i (x) qui rend holomorphes la projection p _i : C _q → E _i et l’application π _i : E _i → P ¹ induite par π. Calculer le genre de E _i .

6. Soit ω i un g´ en´ erateur de H ⁰ (E i , K E

). Montrer que les formes holomorphes (η _i = p ^∗ _i ω _i ) _i=1,2,3 sont une base de H ⁰ (C _q , K _C

)

7. Soit Λ = {( R

γ η ₁ , R

γ η ₂ , R

γ η ₃ ), γ ∈ H ₁ (X, Z )} ⊂ C ³ le r´ eseau des p´ eriodes de C q et pour i = 1, 2, 3, Λ i = { R

γ ω i , γ ∈ H 1 (E i , Z )} ⊂ C . Montrer que Λ est un sous-groupe d’indice fini de Λ ₁ × Λ ₂ × Λ ₃ .

8. Calculer cet indice. (hors bar` eme)

Corrig´e de l’examen - Surfaces de Riemann - 31/10/2014

Exercice 1 :

1. Notons P = x ² y + y ² x + 1. On a ∂ _x P = 2xy + y ² et ∂ _y P = x ² + 2xy. Si P = ∂ _x P = ∂ _y P = 0 alors si x = 0, y = 0 ce qui est impossible, sinon x = −2y et y = −2x ce qui n’est pas possible non plus. Donc X est lisse.

2. Notons Q = xy ² +yx ² +z ³ . On a ∂ _x Q = y ² +2xy, ∂ _y Q = x ² +2xy, ∂ _z Q = 3z ² . Si les trois d´ eriv´ ees s’annulent, alors z = 0 et comme pr´ ec´ edemment x et y s’annulent ce qui est impossible pour un point de P ² . Ainsi ˆ X est une surface de Riemann et la formule genre-degr´ e nous donne g = 1. L’application

ˆ

ϕ : X → X ˆ est bien d´ efinie et un point [x, y, z] de ˆ X \ X v´ erifie z = 0 et x ² y+y ² x = 0. Il y a trois solutions ` a cette ´ equation dans P ² : [0, 1, 0], [1, 0, 0]

et [1, −1, 0].

3. On pose R = x ² ys + y ² xt + s ² t ² et on calcule ∂ _x R = 2xys + y ² t, ∂ _y R = x ² s + 2yxt, ∂ t R = y ² x + 2s ² t, ∂ s R = x ² y + 2st ² . Si toutes ces quantit´ es sont nulles, on rappelle qu’on a (x, t) 6= 0 et (y, s) 6= 0. Ainsi y = 0 ou yt + 2xs = 0 et x = 0 ou xs + 2yt = 0. Mais si x = 0 alors s = 0 et y = 0 ce qui est impossible, de mˆ eme pour y ainsi xy 6= 0. Les ´ equations yt + 2xs = xs + 2yt = 0 impliquent xs = yt = 0 d’o` u s = t = 0, mais ceci est impossible. Finalement ˜ X est lisse. Un point de ˜ X \ X v´ erifie soit x = 1, t = 0, et du coup ys = 0, soit y = 1, s = 0 et du coup xt = 0. On a donc les points ([1, 0], [1, 0]), ([1, 0], [0, 1]), ([0, 1], [1, 0]).

4. L’application p ₁ est d´ efinie par p ₁ ([x, t], [y, s]) = [x, t]. L’´ equation d´ efinis- sant ˜ X quand x et t sont donn´ es est de degr´ e 2 en y et s. Elle a donc g´ en´ eriquement deux solutions et p ₁ est de degr´ e 2. L’application p ₁ aura un point de ramification d’ordre 2 pr´ ecis´ ement pour les points o` u il n’y a qu’une solution. C’est-` a-dire quand x ² ys + y ² xt + s ² t ² s’´ ecrit (ay + bs) ² , soit si et seulement si (x ² ) ² = 4(2xt)t ² . Ceci implique x(x ³ − (2t) ³ ) = 0 : on a 4 solutions : [0, 1], [2, 1], [2j, 1], [2j ² , 1] o` u j = exp(2iπ/3). Par la formule de Riemann-Hurwitz, on a χ( ˜ X) = 2χ( P ¹ ) − 4 = 0 donc g = 1.

5. Notons P = {p ₁ , . . . , p _n } et choisissons des coordonn´ ees locales z ₁ , . . . , z _n au voisinage de p ₁ , . . . , p _n . Alors pour N assez grand, l’ensemble K _N d´ efini par ∀i, |z _i | ≥ _N ¹ est une famille exhaustive de compacts de K _N \ P au sens o` u S

N K _N = X \ P et tout compact de X \ P est inclus dans un K _N avec N assez grand. On d´ efinit de mˆ eme des compacts K _N ⁰ de Y \ Q.

La suite ϕ(K _N ) est une suite exhaustive de compacts de Y \ Q donc pour

tout N ⁰ il existe N tel que K _N ⁰

⊂ ϕ(K _N ). Or le compl´ ementaire de K _N

dans X est une r´ eunion de disques D 1 ∪ · · · ∪ D n (resp. le compl´ ementaire

de K _N ⁰

dans Y est une r´ eunion de disques D ⁰ ₁ ∪ · · · ∪ D _n ⁰

). On en d´ eduit

l’inclusion ϕ(D ₁ ∪ · · · ∪ D _n ) ⊂ D ⁰ ₁ ∪ · · · ∪ D _n ⁰

. Par connexit´ e, pour tout i il

existe j tel que ϕ(D i ) ⊂ D ⁰ _j . En ´ ecrivant ϕ dans les cartes correspondantes,

on voit une fonction born´ ee et holomorphe sur un disque ´ epoint´ e : elle se

prolonge donc de mani` ere holomorphe. En applicant le mˆ eme raisonnement

`

a ϕ ⁻¹ , on a bien prouv´ e que ϕ s’´ etend en un biholomorphisme de X vers Y . En particulier, X et Y ont le mˆ eme genre. Dans les questions pr´ ec´ edentes, X s’identifie ` a la fois ` a ˆ X \ P et ˜ X \ Q. Ainsi l’identit´ e se prolonge en un biholomorphisme de ˆ X vers ˜ X. Il est donc normal que ces deux surfaces aient le mˆ eme genre.

Exercice 2 :

1. On remarque que ϕ est bien d´ efinie car si on ajoute ` a v un multiple de u, ϕ(u) ne change pas car d <sub>u</sub> π(u) = 0. De plus si on ajoute ` a w un ´ el´ ement de ker d _u π, le d´ eterminant ne change pas puisque u et v forment une base de ce noyau. Soit λ ∈ C ^∗ : comme P est de degr´ e d, sa d´ eriv´ ee est de degr´ e d−1 ainsi d _λu P (w) = λ ^d−1 d _u P (w). On doit donc remplacer w par λ ^1−d w. De plus, π est invariant par multiplication par λ ainsi d _λu π(λv) = d _u π(v ). Il n’y a plus qu’` a compter les puissances de λ. Le morphisme ϕ s’interpr` ete comme un ´ el´ ement de Hom(D ^⊗(d−3) p , T p X). C’est un isomorphisme pour tout p, n´ ecessairement holomorphe qui induit donc l’isomorphisme O(3 − d) ' T , d’o` u celui de l’´ enonc´ e.

2. On rappelle que deg i ^∗ O(1) = d, ainsi 2g −2 = deg K = deg(i ^∗ O(1)) ^⊗(d−3) = d(d − 3).

3. Toute forme lin´ eaire sur C ³ peut ˆ etre vue comme un ´ el´ ement de H ⁰ ( P ² , O(1)).

Par restriction, cela donne un ´ el´ ement de H ⁰ (X, i ^∗ O(1)) = H ⁰ (X, K) car d = 4. Si la forme λ est envoy´ ee sur 0 c’est que X est inclus dans P (ker λ).

Ceci est impossible pour une courbe de degr´ e d > 0 qui rencontre tout hyperplan d fois. De plus H ⁰ (X, K) est de dimension 3 puisque X est de genre 3, ainsi cette derni` ere application est un isomorphisme. A p ∈ X, le plongement canonique associe l’hyperplan des sections de H ⁰ (X, K) qui s’annulent en p. Mais les diff´ erentielles holomorphes sont pr´ ecis´ ement les restrictions des formes lin´ eaires de C ³ . Via cette identification, le plonge- ment canonique est l’identit´ e !

4. Si ϕ est un automorphisme de X, ϕ ^∗ est un automorphisme de H ⁰ (X, K).

Par l’identification pr´ ec´ edente, ϕ ^∗ devient un automorphisme du dual de C ³ . En prenant son adjoint, on d´ efinit un ´ el´ ement ϕ ^∗∗ de GL ₃ ( C ) qui ´ etend ϕ ` a P ² .

Exercice 3 :

1. Notons X = (x ² , y ² , z ² ) ^T de sorte que P (x, y, z) = q(x ² , y ² , z ² ) = X ^T AX.

On calcule ∂ _x P = 2xe ^T ₁ AX , de mˆ eme pour y et z o` u e _i d´ esigne la base

canonique. Si ∂ _x P = ∂ _y P = ∂ _z P = 0 avec X 6= 0, on a x = 0 ou e ₁ est

orthogonal ` a X pour la forme q. Si A est d´ eg´ en´ er´ e, en prenant des racines

carr´ ees d’un vecteur du noyau, on trouve un point singulier. Supposons

donc det(A) 6= 0, d’apr` es ce qui pr´ ec` ede, un point singulier doit avoir au

moins une coordonn´ ee nulle, disons x = 0. Si y = 0, alors P (0, 0, z) = cz ⁴

o` u c est le dernier coefficient diagonal de A, suppos´ e non nul, cela implique donc z = 0. Ainsi, on a y et z non nuls et AX est orthogonal ` a e ₂ et e ₃ , il s’´ ecrit donc λe ₁ . Dans ce cas P (x, y, z) = X ^T AX = λ ² (A ⁻¹ e ₁ ) ^T (A ⁻¹ e ₁ ). Il s’agit du premier coefficient diagonal de A ⁻¹ , non nul par hypoth` ese.

2. On note σ ₁ la transformation [x, y, z] 7→ [−x, y, z] de mˆ eme pour σ ₂ et σ ₃ . Ce sont des biholomorphismes qui commutent et v´ erifient σ 1 σ 2 σ 3 = Id. Le groupe engendr´ e par σ ₁ et σ ₂ s’identifie ` a ( Z /2 Z ) <sup>2</sup> et agit fid` element sur X car P est une fonction paire de x, y et z.

3. Soit σ ₁ et σ ₂ les deux involutions de X. D’apr` es l’exercice pr´ ec´ edent, on peut les relever ` a deux matrices A ₁ , A ₂ ∈ GL ₃ ( C ) qui v´ erifient A ² ₁ = λId, A ² ₂ = µId, A ₁ A ₂ = νA ₂ A ₁ pour λ, µ, ν dans C ^∗ . Quitte ` a multiplier A <sub>1</sub> et A <sub>2</sub> par des constantes, on peut supposer A <sup>2</sup> <sub>1</sub> = A <sup>2</sup> <sub>2</sub> = Id. Si A <sub>1</sub> x = x avec = ±1, alors A <sub>2</sub> A <sub>1</sub> x = A <sub>2</sub> x = νA <sub>1</sub> A <sub>2</sub> x. Donc ν est une valeur propre de A <sub>2</sub> et ν = ±1. Quitte ` a changer leur signe, on peut supposer que A ₁ et A ₂ n’ont qu’un vecteur propre n´ egatif, not´ e e ₁ et e ₂ . L’intersection des espaces propres positifs de A ₁ et A ₂ donne un vecteur e ₃ et on a dans cette base

A ₁ =





−1 0 0 0 1 0 0 0 1



 , A ₂ =





1 0 0

0 −1 0

0 0 1



 .

Dans cette base, le polynˆ ome de degr´ e 4 qui d´ efinit X est pair en x, y et z.

C’est donc une forme quadratique en x ² , y ² et z ² et X est isomorphe ` a la quadrique de Ciana correspondante.

4. On d´ efinit E ₁ = C _q / ∼ o` u on a pos´ e z ∼ σ <sub>1</sub> (z) et on note π <sub>1</sub> la projection canonique. Soit Q = {[x, y, z] ∈ P <sup>2</sup> , q(x, y, z) = 0} : il s’agit d’une quadrique non-d´ eg´ en´ er´ ee, donc isomorphe ` a P ¹ . De plus l’application c : C _q → Q d´ efinie par [x, y, z] 7→ [x ² , y ² , z ² ] est clairement holomorphe et invariante par σ ₁ . On a donc une factorisation c = p ₁ ◦ π ₁ o` u C _q → ^π

E ₁ → ^p

Q. Il n’y a qu’une structure de surface de Riemann sur E ₁ qui rende ces deux applications holomorphes. Comme π 1 de degr´ e 2, pour calculer le genre de E ₁ il suffit de calculer le nombre de points fixes de σ ₁ , i.e le nombre de points d’intersection entre C _q et l’hyperplan x = 0. Comme C _q est de degr´ e 4, il y en a 4 et on a par la formule de Riemann-Hurwitz χ(C q ) = 2χ(E 1 )−4 = −4 donc χ(E ₁ ) = 0 et c’est une courbe elliptique.

5. Par construction, σ ^∗ _i η _i = η _i , et η _i 6= 0. Or chaque involution σ _i agit sur H ⁰ (X, K) par des involutions non-triviales qui commutent. Si ces involu- tions ont la valeur propre 1 avec multiplicit´ e 2, le produit σ ₁ σ ₂ σ ₃ ne fait pas 1. C’est donc l’inverse qui se produit et η _i est le g´ en´ erateur de l’espace fix´ e par σ _i : en particulier ces formes sont ind´ ependantes.

6. On a R

γ η _i = R

γ p ^∗ _i ω _i = R

p

(γ) ω _i ∈ Λ _i . Ainsi Λ ⊂ Λ ₁ × Λ ₂ × Λ ₃ . Les deux

sont des r´ eseaux de C ³ (le quotient C ³ /Λ s’identifie ` a la jacobienne de C _q )

ainsi le quotient est fini.