IUT 1 DE GRENOBLE
Département mesures physiques
Cours de Mathématiques Premier semestre
Jean-Marie De Conto
Chapitre 1 : Rappels de trigonométrie
Cercle trigonométrique : Il s’agit du cercle de rayon 1, centré sur l’origine O.
On définit la mesure « principale » de l’angle (AOM), notée θ, par (AM), la longueur de l’arc sur le cercle unité. La rotation dans le sens positif correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre.
Unité : un angle s’exprime, sauf indication contraire, en radians, unité légale. On utilise bien sûr d’autres unités comme le degré.
degrés radians180
Longueur d’arc : Un arc défini par un angle θ (en radians) sur un cercle de rayon R a pour longueur R θ.
Les angles sont comptés positivement dans le sens trigonométrique, inverse des aiguilles d’une montre. Un angle de 2π correspond à une rotation d’un tour complet. La mesure d’un angle est définie à 2π près. L’angle π correspond à un demi tour dans le sens direct, et à –π dans le sens rétrograde.
Propriété : Les angles sont définis dans l’intervalle [0,2π] ou [-π,+π], de manière identique.
Ils sont définis à un nombre entier de tours près. On écrira donc de manière générale :
0 2k Avec k entier et :
] 2 , 0
0 [
ou 0[,] O
M
A x y
P
Q
Fonctions trigonométriques : On définit :
sin cot cos
cos tan sin sin cos
____
____
OM OP OM OQ
Attention aux grandeurs algébriques (avec un signe).
Angles remarquables
La table qui suit est à connaître par cœur
θ sin cos
0 0 1
6
2 1
2 3
4
2
2 2
2
3
2
3 2 1
2
1 0
On déduit les tangentes et cotangentes par calcul direct.
Valeurs déduites par lecture sur le cercle trigonométrique.
Elles sont légion et nous ne donnerons que quelques cas, à compléter soi-même :
2 ? sin
2 ? cos
2 ? sin
2 ? cos
?
sin
? cos
? sin
? cos
2 ? sin 3
2 ? cos 3
2 ? sin 3
2 ? cos 3
Formules d’addition
Nous verrons, dans la partie « nombres complexes » comment l’on démontre les formules qui suivent.
Les relations fondamentales, les valeurs remarquables, ainsi que les formules relatives à l’angle double ou moitié sont à connaître par cœur.
Fonctions trigonométriques réciproques
L’équation sin yadmet une solution unique dans l’intervalle [-/2, /2]. On la note Arcsin(y)
L’équation cos yadmet une solution unique dans l’intervalle [0, ]. On la note Arccos(y)
L’équation tan yadmet une solution unique dans l’intervalle ]-/2, /2[. On la note Arctan(y)
Nous avons ainsi défini trois fonctions trigonométriques réciproques :
Arcsin : défini de [-1 1] sur [-/2, /2]
Arccos défini de [-1 1] sur [0, ]
Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-/2, -/2[
Propriétés élémentaires
La définition des fonctions trigonométriques, ainsi que la relation 1
sin
cos2 2 permettent de démontrer aisément les relations suivantes :
2 / arcsin
arccos
) 1 tan(arccos
1 ) tan(arcsin
) sin(arccos 1
) cos(arcsin
2 2 2
x x
x x x
x x x
x x
x
Exercice : démontrer ces relations Dérivation des fonctions réciproques
Nous reverrons ce point ultérieurement, mais nous mentionnerons d’ores et déjà les relations :
2 2
2
1 arctan 1
1 arcsin 1
1 arccos 1
x dx x
d
x dx x
d
x dx x
d
Equations trigonométriques. Première partie.
On considère l’équation :
n Où n est un nombre entier et un angle fixé.
Résolution : on sait que est défini à un nombre entier de rotations près, c'est-à-dire que l’équation s’écrit en fait, rigoureusement :
k n n
k n
2 2
L’équation précédente a n solutions (pour k=0…(n-1)).
Exemple. Résoudre
5 3
Combien y a-t-il de solutions (sans calcul). Donner ensuite toutes les solutions.
Equations trigonométriques. Seconde partie.
Les fonctions réciproques, accessibles sur toute calculatrice, nous permettent de résoudre des équations trigonométriques simples, qui sont les suivantes :
kn y nArc x n
ou kn y nArc x
k y Arc nx
ou k y Arc nx y nx
kn y nArc x
ou y kn nArc
x
k y Arc nx
ou k y Arc nx y nx
y Arc x
ou y Arc x y x
y Arc x
ou y Arc x y x
2 ) 1 sin(
2 ) 1 sin(
2 ) sin(
2 ) sin(
sin
2 ) 1 cos(
2 ) 1 cos(
2 ) cos(
2 ) cos(
cos
) sin(
) sin(
sin
) cos(
) cos(
cos
Equations trigonométriques. Troisième partie.
Nous considérons maintenant les équations du type acosx+bsinx=c. La procédure est assez aisée. On se ramène par normalisation au sinus ou au cosinus d’une somme.
1 On normalise l’équation en la réécrivant, de manière équivalente :
2 2 2
2 2
2 cos sin
b a x c b a x b b a
a
On a alors, par construction :
1
2
2 2 2
2
2
a b
b b
a a
2 On reconnaît le développement du sinus d’une somme. Il existe donc y, à déterminer, tel que :
y b
a
a sin
2
2
et y
b a
b cos
2
2
L’équation devient finalement :
2 2
) sin(
sin cos cos sin
b a y c x x y x
y
Cas 1 : 1
2
2
b a
c pas de solution
Cas 2 : 1
2
2
b a
c On procède alors comme suit :
- On résoud
2 2
) sin(
b a z c
, ce qui donne deux solutions z1 et z2.
- On détermine y de manière unique (à 2 près) car on connaît son sinus et son cosinus (paragraphe 2).
- on déduit x1,2=z1,2-y+2k (deux solutions).
Remarque fondamentale : Si au lieu de cosx et de sinx on a cos(nx) et sin(nx), la résolution est identique. Par contre on a 2n solutions, x étant remplacé par nx.
On a : nx1,2=z1,2-y+2k soit
k n n
y x z1,2 2
2 ,
1
(2n solutions).
Variante : On reconnaît le développement du cosinus d’une somme en posant :
y b
a
a cos
2
2
et y
b a
b sin
2
2
l’équation devient alors :
2 2
) cos(
sin sin cos cos
b a y c x x y x
y
On procède comme précédemment.
Quelques applications de la trigonométrie.
1 Coordonnées polaires
On se place dans le plan, avec les coordonnées cartésiennes usuelles. Dans ce cas, un point M de coordonnées (x,y) peut être représenté par sa distance à l’origine et l’angle entre OM et l’axe des abscisses.
On définit les coordonnées polaires de M par le module et l’argument qui sont définies par, respectivement
sin cos
2 2
y x
y x
2 Equation paramétrique d’un cercle
Les points d’un cercle de rayon R centré sur l’origine vérifient, par définition, l’équation implicite :
2 2
2 y R
x
Ils vérifient donc l’équation dite « paramétrique » suivante (le paramètre est en fait θ).
sin cos R y
R x
Exercice : Ecrire l’équation paramétrique d’un cercle centré sur un point quelconque du plan M
x y
θ
3 Equation paramétrée d’une ellipse centrée
Si a et b sont respectivement les demis grands axes horizontal et vertical, l’équation de l’ellipse centrée est alors de la forme :
sin cos b y
a x
4 Application
On se donne un mouvement elliptique dans le plan, de la forme :
t b t y
t a t x
sin ) (
cos ) (
Calculer le vecteur vitesse
Comment le vecteur vitesse est il orienté par rapport à l’ellipse ?
Déduire de ce raisonnement le vecteur normé tangent à une ellipse quelconque.
5 Valeurs approchées
Pour x petit (c'est-à-dire inférieur à 0.1 environ en valeur absolue), on a les relations :
x x x x
x x
) tan(
1 2 ) cos(
) sin(
2
6 Equations différentielles
Théorème : les fonctions sinus et cosinus sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :
)
2 (
2
x dx f
f d
Corollaire : les fonctions sin(ωx) et cos(ωx) sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :
)
2 (
2 2
x f dx
f d
Chapitre 2 : Fonctions logarithme et exponentielle
1 Fonction logarithme népérien
Théorème : la fonction f(x)=1/x admet une primitive sur R*+, l’ensemble des réels strictement positifs, et qui soit nulle pour x=1. Cette primitive est unique et est notée ln(x).
Corollaire1 :
) 0 (
) ln(
1 ) ln(
1
x
t x dt
x dx
x d
x
Corollaire 2 : La primitive de 1/x pour x négatif est ln(x). Par conséquent, la primitive de 1/x, pour x non nul dans R, est lnx
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien
2 Propriétés élémentaires
On montre assez aisément les propriétés suivantes, qui sont à connaître par cœur.
0 ) 0 lim ln(
) ln(
lim ) ln(
lim
0
n
x x x
x
x n x x
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0,[ et est à valeurs dans [
, ]
Logarithme du produit
Considérons x et a deux réels positifs.
Soit
) ln(
)
(x ax
f
Par dérivation
x ax x a
f 1
)
(
Par conséquent, la fonction f et la fonction logarithme ayant la même dérivée, elles diffèrent d’une constante C.
C x ax)ln( ) ln(
Cette relation est vraie pour tout x, en particulier pour x=1, d’où : C
C a)ln(1) ln(
et donc
) ln(
) ln(
)
ln(ax x a
On déduit immédiatement :
) ln(
) ln(
ln a x
x
a
Exercice : le démontrer à partir de la formule précédente
Théorème : La fonction logarithme népérien est la seule et unique fonction continue f qui vérifie f(ab)=f(a)+f(b) et f(1)=0.
3 Existence du nombre e
Théorème : Il existe un nombre unique noté « e », base des logarithmes népériens, qui vérifie ln(e)=1.
Ceci se démontre par exemple en utilisant le fait que la fonction est strictement croissante et continue (paragraphe 2).
4 Dérivation et intégration logarithmique Soit
) ( ln )
(x f x
G
On déduit, par dérivation de fonctions composées :
) (
) ) (
( f x
x x f
G
Cette expression particulière est appelée la dérivée logarithmique de f.
L’intérêt de cette relation est de pouvoir calculer certaines primitives. Par exemple, soit :
3 2
) 1
( x
x x
g
On peut écrire :
c x dt
t g x
x f
x f
x f x x x
x x g
33 3 2 3
2
2ln ) 1 ( )
(
) (
) ( 3 1 1
3 3 1 1
) (
où c est une constante d’intégration.
Remarque : ne jamais oublier la valeur absolue.
5 Fonction exponentielle
Définition : la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme.
Propriété fondamentale :
) exp(
) exp(
)) exp(ln(
) exp(
) ln(
) ln(
) ) ln(
ln(
)
ln( x y a b ab x y ab ab x y
b y
a
x
Par définition : exp(1) =e
On déduit immédiatement que exp(n)=en pour n entier, et, de manière générale, on a, pour tout x réel :
ex
x) exp(
Corollaire :
a bab a
e e ab
a e
) exp(
) ln(
6 Logarithme de base quelconque :
Soit b un réel positif, on peut écrire
ln()
) ln(
) ln(
) ln(
) ln(
) exp ln(
) )ln(
ln(
exp ))
exp(ln( b
x
b b b
b x x
x x b
Par définition, on pose
) ln(
) ) ln(
(
log b
x x
b
qui est le logarithme à base b de x.
7 Propriétés élémentaires de la fonction exponentielle
On montre assez aisément les propriétés suivantes, qui sont à connaître par cœur.
exp( )
0lim
) lim exp(
0 ) exp(
lim
) exp(
lim
x x
x x x x
n x x n x x
La fonction exponentielle est strictement croissante sur],[ et est à valeurs dans [
, 0 ]
Les courbes représentatives de l’exponentielle sont symétriques par rapport à la diagonale principale, ainsi qu’on le voit sur la figure ci-dessous.
Exponentielle et logarithme (l’exponentielle est la courbe supérieure).
8 Valeurs approchées
Pour x petit, on a les relations :
x x
x x
1 ) exp(
) 1 ln(
9 Dérivation de la fonction exponentielle
L’exponentielle étant la fonction réciproque du logarithme, sa dérivée vient directement de l’expression de la dérivée des fonctions composées.
exp( ) exp( ) exp( )) exp(
1 1 ) exp(
ln )
exp(
ln x x
dx x d
dx d x x
dx x d
x
10 Application : désintégration radioactive, équations différentielles
Un ensemble de N atomes se désintègre. Pour un intervalle de temps dt aussi petit que l’on veut, le nombre d’atomes se désintégrant est proportionnel à N et à dt. La variation dN du nombre d’atomes est donc :
Ndt dN où σ est une constante qui dépend du corps étudié.
Par conséquent
dt N dN
Dont une solution est N N0et, où N0 est le nombre d’atomes initial.
Théorème : l’équation différentielle y’+ay=0, avec a constant, a pour solutionyy0eatoù y0
est la valeur prise par y pour t=0.
Chapitre 3 Trigonométrie hyperbolique
La trigonométrie hyperbolique est analogue en bien des points à la trigonométrie usuelle.
Nous en verrons plus précisément le rapport dans le cours sur les nombres complexes.
1 Définitions
On définit respectivement le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques par :
x x
x x x x
x x
e e
e e x ch
x x sh th
e x e
sh
e x e
ch
) (
) ) ( (
) 2 (
) 2 (
Les courbes représentatives sont données ci-dessous, paragraphe 2.
2 Propriétés fondamentales :
Propriété fondamentale :
1 ) ( )
( 2
2 x sh x ch
Exercice : le démontrer
Les fonctions sont définies sur R tout entier.
A +∞ et à -∞, le cosinus hyperbolique se comporte comme 2 ex
A +∞, le sinus hyperbolique se comporte comme 2 ex
A -∞, le sinus hyperbolique se comporte comme 2 ex
La tangente hyperbolique admet deux valeurs asymptotiques à +∞ et -∞, et qui sont respectivement -1 et 1.
Pour x petit, on a les approximations :
1 2 ) cosh(
) tanh(
) sinh(
x2
x
x x x
Les dérivées s’obtiennent immédiatement en sachant dériver l’exponentielle :
x x th
ch x
ch x sh x x ch dxth
d
x ch x dxsh
d
x sh x dxch
d
2 2
2 2 2
1 1 )
(
) ( ) (
) ( ) (
Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques (de gauche à droite).
3 Equations différentielles
Théorème : les fonctions sinus et cosinus hyperboliques sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :
)
2 (
2
x f dx
f
d
Corollaire : les fonctions sh(ωx) et ch(ωx) sont solutions de l’équation différentielle du second ordre :
)
2 (
2 2
x f dx
f d
4 Formules usuelles
Elles sont similaires à celles de la trigonométrie circulaire. Nous donnerons simplement les quelques formules suivantes, à connaître par coeur :
shx x
sh
chx x ch
) (
) (
thxthy thy y thx
x th
chxshy shxchy
y x sh
shxshy chxchy
y x ch
) 1 (
) (
) (
shxchx x
sh
x ch x sh x ch x ch
2 ) 2 (
1 2
) 2
( 2 2 2
5 Fonctions réciproques
5.1 Argument cosinus hyperbolique On considère l’équation où y est l’inconnue :
) 2 (
y
y e
y e ch x
Cette équation admet deux solutions opposées (voir l’allure de la courbe) si et seulement si x≥1. Si x<1, elle n’admet pas de solutions. Pour x=1, il y a une seule solution.
On pose
1 0 1 2
2 2
x x Y
xY Y
e
Y y
la solution correspondant à y>0 est alors :
1 ln
1
2 2
x x y
x x Y
On définit donc :
ln 1
) (
argch x x x2
5.2 Argument sinus hyperbolique De même, on considère l’équation :
) 2 (
y
y e
y e sh x
Cette équation admet toujours une solution. Par le même raisonnement que précédemment, on trouve :
ln x x2 1 y
On définit :
ln 1
) (
argsh x x x2
5.3 Argument cosinus hyperbolique
Enfin, l’équation x=th(y) admet une solution unique si et seulement si -1<x<1.
On trouve directement :
x y x
1 ln 1 2 1
On définit alors :
x x x
th 1
ln 1 2 ) 1 ( arg
Exercice : le démontrer à partir de l’expression de la tangente hyperbolique
6 Dérivation des fonctions réciproques
La dérivation directe des formules données ci-dessus donne immédiatement :
2 2 2
1 ) 1 ( arg
1 ) 1
( arg
1 ) 1
( arg
x x
dx th d
x x dx sh
d
x x dx ch
d
Exercice : le démontrer.
7 Paramétrisation d’une hyperbole
Nous admettrons ce résultat sans démonstration.
L’équation paramétrique
bsh y
ach x
est l’équation d’une hyperbole.
On en déduit la forme implicite :
2 1
2 2
2
b y a x
Chapitre 4 : Nombres complexes
Note importante : Conformément aux usages de la physique et notamment de l’électricité, nous noterons « j » le nombre imaginaire pur, et pas « i » comme il est d’usage en mathématiques.
1 Introduction
On trouve parfois (souvent) dans les ouvrages de terminale ou assimilé des expressions sans justifications du type :
Il existe un nombre dont le carré est -1
Les nombres complexes sont essentiellement de la géométrie
Ces deux assertions sont totalement fausses ou stupides. En fait, on construit un ensemble de nombres où les carrés peuvent être négatifs. Cet ensemble, C, est équivalent au plan, muni d’opérations spéciales. Et les nombres complexes servent essentiellement à tout autre chose que la géométrie.
2 Définition
On considère le plan. Le point M de coordonnées (x,y) représente par définition un nombre complexe z. On dit que z est l’affixe de M.
A partir d’un point z1 de coordonnées (x1,y1) et d’un point z2 de coordonnées (x2, y2), on construit z3 de coordonnées (x1x2 y1y2,x1y2 x2y1).
Cette opération s’appelle la multiplication complexe et est notée :
2 1 3 z z z On notera de façon générale :
jy x z
Propriété : les nombres complexes de partie imaginaire nulle correspondent de manière biunivoque aux nombres réels. On les y assimilera donc.
Conséquence : Selon cette convention, le nombre complexe j2 ayant une partie imaginaire nulle et une partie réelle égale à -1 sera donc considéré égal à -1.
3 Module et argument
Si l’on travaille en coordonnées polaires, les parties réelle et imaginaire du nombre complexe z=x+jy peuvent s’écrire :
cos sin
sin cos
) Re(
) Re(
j y z
x
z y z x
encore ou et
avec
)
2 arg(
z y
z
x2 et
Les nombres et θ sont respectivement le module et l’argument de z. le module de z se note habituellement |z|.
Propriété : l’ensemble des nombres complexes de module 1 est le cercle unité.
4 Addition
La somme de deux nombres complexes s’obtient en ajoutant respectivement les parties réelles et les parties imaginaires.
L’opposé d’un nombre complexe s’obtient en prenant l’opposé des parties réelle et imaginaire.
5 Multiplication
ax by jay bx
jb a jy
x )( )
(
Inverse d’un nombre complexe :
2 2 2
) Im(
Im 1
) Re(
Re 1 1 1
z z z
z z z
z jy x jy x z
jy x z
Addition et multiplication sont commutatives.
Nombre complexe conjugué ;
Par définition, le nombre complexe zconjugué de z, est défini par :
jy x z jy x
z
On a immédiatement les propriétés suivantes :
j j
z z z
z z z
z z z z
/ 1
1
2 2
2 1 ____
2 1
5 Interprétations géométriques. Formule de Moivre
Propriété 1 : La multiplication par j correspond à une rotation d’angle π/2
Propriété 2 : La multiplication par un complexe de module 1 et d’argument θ correspond à une rotation d’angle θ.
Formule de Moivre
La propriété 2 indiquée ci-dessus signifie que l’élévation à la puissance « n » d’un complexe de module 1 correspond à une rotation d’angle n θ du point d’affixe 1.
Par conséquent (formule de Moivre) :
cos jsin
n cos(n) jsin(n)Corollaire : Module et argument du produit et du rapport
cos 1 sin 1
2
cos 2 sin 2
1 2
cos( 1 2) sin( 1 2)
1
j j j
cos( ) sin( )
sin cos
sin cos
2 1 2
1 2
1 2
2 2
1 1
1
j
j j
Application : ces formules permettent de trouver toutes les formules usuelles de la trigonométrie.
Exercice : calculer cos(3 θ)
Module et argument de zn
L’application directe de la formule de Moivre donne immédiatement les deux relations :
arg( )arg z n z
z z
n n n
Exercice : Calculer
