Seconde Correction devoir maison 1 : 72 p 70 2011-2012
I Partie A
1. Le théorème de Pythagore dans le triangleABC donne : AB2+BC2=AC2⇔AB2+ 1 =AC2(1) De même dans le triangleABM,AB2+BM2=AM2(2)
On additionne membre à membre les deux égalités (1) et (2) et l’on obtient : AC2+AM2= 2AB2+BM2+ 1 (3) 2. BM =x
(a) Comme M ∈[BF], on a : 06BM 6BF ⇔06x64 doncx∈[0; 4].
(b) Le théorème de Pythagore dans le triangleACM donne :AC2+AM2=M C2⇔ AC2+AM2= (x+ 1)2=x2+ 2x+ 1 (4) .
3. En utilisant les relations (3) et (4), on obtient :
2AB2+x2+ 1 =x2+ 2x+ 1⇔2AB2= 2x⇔AB2=x⇒ AB=√
x carx>0.
4. Pythagore dans EFD : EF2+ 1 =ED2
Pythagore dans EFM : (4−x)2+EF2=EM2
ED2+EM2= 2EF2+ (4−x)2+ 1 (5) Or avec Pythagore dansEM D : ED2+EM2= (5−x)2(6)
En utilisant les relations (5) et (6), on obtient :
2EF2+ (4−x)2+ 1 = (5−x)2⇔2EF2= 8−2x⇔AB2= 4−x⇒ AB=√
4−x carx64.
II Partie B
1. Pour toutx∈[0; 4], f(x) =AB+EF =√ x+√
4−x 2. (a) Courbe def
O 1
1
b b
b
2 2√
2
maximum
Cf
(b) On constate que le maximum de la fonctionf est obtenu pourx= 2.f(2) est donc la valeur maximale de f(x) pourx∈[0; 4] et cette valeur vaut :
f(2) =√ 2 +√
4−2 =√ 2 +√
2 = 2√ 2
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