TS Devoir Maison 3 2011-2012
I Partie A
Soitf la fonction définie surRpar :f(x) = 1−xex
On donne ci-dessous le tableau de variations def surR.
x Signe def′(x)
Variations def
−∞ −1 +∞
+ 0 −
1 1
1 + 1e 1 + 1e
−∞
−∞
1. Justifier le tableau de variations ci-dessus : dérivée, valeur qui annule la dérivée, signe de la dérivée et par conséquent les variations def, extremum et les deux limites.
2. Justifier que l’équationf(x) = 0 admet une unique solution dansRque l’on noteraα.
3. Donner un encadrement deαd’amplitude 10−1. (expliquer) 4. En déduire le signe def(x) selon les valeurs dex.
II Partie B
Soitg la fonction définie surRparg(x) = 1 +x 1 +ex 1. Justifier queg est croissante sur ]− ∞;α].
2. Prouver queg(α) =α 3. On définit la suite (un) par :
u0=−0,8
∀n∈N, un+1=g(un)
Démontrer, par récurrence, que la suite (un) est majorée parαet que la suite (un) est croissante.
4. Prouver que (un) est convergente. Quelle est sa limite ?
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