TS Correctionexercice 82 page 53 2018-2019
aetb deux nombre réels tels quea > b.
ϕ= a b avec a
b =a+b
a :ϕest le nombre d’or. (⋆) a
b =a+b
a ⇔a2=ab+b2
I Partie A
1. ϕ2−ϕ−1 = a2 b2 −a
b −1 = a2−ab−b2
b2 =
(⋆)
0
b2 = 0 doncϕest solution de l’équation x2−x−1 = 0.
L’autre solution est négative (à vérifier) donc c’est la solution positive.ϕ=1 +√ 5
2 ≈1,62 arrondie à 10−2près.
2. a
b =a+b
a = 1 + 1
a b
⇔ϕ= 1 + 1 ϕ.
ϕsolution dex2−x−1 = 0 doncϕ2= 1 +ϕ, et commeϕ >0,ϕ=√ 1 +ϕ
• • •
II Partie B
1. Laissée à la sagacité du lecteur. On peut conjecturer que lim
n→∞un= lim
n→+∞vn=ϕ 2. Il semblerait que (un) soit croissante et majorée parϕ;
démontrons que, pour toutndeN,un 6un+16ϕ(il s’agit de la propriétéP(n)).
Cela se démontre par récurrence. Nous l’avons déjà vu à de nombreuses reprises cette année. Par exemple, exercice 1 du cours page 19. Utiliser la croissance de la fonction racine carrée sur [0; +∞[ et le fait queϕ=√
1 +ϕpour l’hérédité.
Une fois démontrée, le théorème de convergence monotone permet de dire que la suite (un) est convergente puisque croissante et majorée. D’après le théorème du cours page 20, elle converge vers le nombre positif x vérifiantx= 1 + 1
x, il s’agit deϕ.
3.(a) Toujours par récurrence ! (on ne sait pas quevn >0 pour toutn) (b) Pour toutn∈N, vn+1−ϕ =
A.2vn+1−1− 1
ϕ= 1 + 1
vn −1− 1 ϕ= 1
vn − 1
ϕ = ϕ−vn
ϕvn
(c) On a donc, pour toutn∈N,|vn+1−ϕ|=
ϕ−vn
ϕvn
ϕ>0, v=n>1>0
1
ϕ×|vn−ϕ|
vn . Orvn>1⇔0< 1
vn 61 donc, par reconstruction, 1
ϕ×|vn−ϕ| vn
6 1
ϕ|vn−ϕ|et on obtient l’inégalité voulue.
(d) On souhaite démontrer, que pour toutn,|vn−ϕ|6
1
ϕ n
P(n). Cela se fait par récurrence :
•Initialisation : |v0−ϕ| ≈0,38 et
1
ϕ 0
= 1, donc|v0−ϕ|6
1
ϕ 0
et P(0) est vraie.
•Hérédité: Soitn∈N, supposonsP(n) vraie et montrons que P(n+ 1) est vraie.
|vn+1−ϕ| 6
B.3.c
1
ϕ|vn−ϕ|
6
P(n)vraie
1 ϕ×
1
ϕ n
6
1
ϕ n+1
doncP(n+ 1) est vraie.
•Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence :∀n∈N,|vn−ϕ|6
1
ϕ n
(e) |vn−ϕ|6
1
ϕ n
⇔ −
1
ϕ n
6vn−ϕ6
1
ϕ n
. Comme 1
ϕ ∈]0; 1[, la suite géométrique
1
ϕ
n
converge et lim
n→+∞
1
ϕ n
= 0. Par conséquent, l’utilisation du théorème des gendarmes permet de dire que la suite (vn−ϕ) converge et tend vers 0. De plus,vn = (vn−ϕ) +ϕ, donc par addition de limites, (vn) converge et
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n→+∞lim vn =ϕ. On a |v5−ϕ|6
1
ϕ 5
et
1
ϕ 5
≈9×10−2 doncv5 approche le nombre d’or à environ 0,09 près.
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