TS Correction devoir Maison 3 2011-2012
I Partie A
f définie surRpar :f(x) = 1−xex x Signedef′(x)
Variations def
−∞ −1 +∞
+ 0 −
11
1 + 1e 1 + 1e
−∞
−∞
1. Dérivée : valeur qui annule la dérivée, signe de la dérivée, variations def, extremum et les deux limites.
• ∀x∈R, f′(x) =−(ex+xex) =−ex(x+ 1).
• ∀x∈R, f′(x) = 0⇔ −ex(x+ 1) = 0⇔x+ 1 = 0 carexne s’annule pas sur R. doncf′(x) = 0⇔x=−1.
• Comme −ex <0 pour tout x∈ R, f′(x) est du signe contraire de x+ 1 : f′(x) <0 pour x > −1 et f est strictement décroissante sur [−1; +∞[ puis f′(x) > 0 pour x < −1 ce qui implique que f est strictement croissante sur ]− ∞;−1].
2. Équationf(x) = 0 :f est une fonction continue surRetf(−1)>0, lim
x→+∞f(x) =−∞. D’après le théorème des valeurs intermédiaires,f(x) = 0 admet une solutionαdans [−1; +∞[. Commef est strictement décroissante sur [−1; +∞[, le théorème de la bijection assure l’unicité de cette solution dans [−1; +∞[.
3. Par balayage à la calculatrice, on obtient : 0.5< α <0.6 (amplitude 10−1) 4. Signe def(x) selon les valeurs dex:
x Signe def(x)
−∞ α +∞
+ 0 −
II Partie B
g(x) = 1 +x 1 +ex surR
1. g est croissante sur ]− ∞;α] : ∀x∈R, g′(x) =1 +ex−ex(1 +x)
(1 +ex)2 = 1−xex
(1 +ex)2 = f(x) (1 +ex)2 :
• f(x)>0 sur ]− ∞;α[ ;
• (1 +ex)2>0 surRdoncg′(x)>0 sur]− ∞;α[ et la fonctiongest strictement croissante sur ]− ∞;α].
2. g(α) = 1 +α
1 +eα = 1 +α 1 + 1 α
=α
En effet, commef(α) = 0⇔1−αeα= 0⇔eα= 1 α 3. On définit la suite (un) par :
u0=−0,8
∀n∈N, un+1=g(un)
Démontrons, par récurrence, que la suite (un) est majorée parαet que la suite (un) est croissante.
On posePn :un 6un+16α, ∀n∈N.
• Initialisation àn= 0 : u0=−0,8 etu1≈0.15 doncu06u16αetP0 est vraie.
• Hérédité : On suppose quePn est vraie pourunn∈N. Il s’agit de prouver quePn+1 est vraie.
Pn vraie doncun6un+16α
Mais commeg est croissante sur ]− ∞;α], on obtient :g(un)6g(un+1)6g(α)
⇔ un+16un+26α carg(α) =α.
La relation obtenue prouve quePn+1est vraie.
• Conclusion : D’après le principe du raisonnement par récurrence, un 6 un+1 6 α ∀n ∈ N. (un) est donc croissante et majorée parα.
4. (un) est croissante et majorée donc elle est convergente et sa limitel vérifie la relationg(l) = l. Comme αest l’unique valeur vérifiantg(α) =α, l=α.
My Maths Space 1 sur 1
