Vrai ou faux – Page 315

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Lycée Fénelon Sainte-Marie 1 - 3 M. Lichtenberg

Vrai ou faux – Page 315

Exercice N°10 Æ FAUX

Piège classique ! Les deux vecteurs uG et vG

peuvent être de sens opposés.

On a alors : (^{u v}^{G G}^, )⁼^{π π}( )² ^{et :}

( )

. cos ,

u vG G= uG × vG × u vG G = − uG × vG

Reconnaissons que l’énoncé est un tantinet … vicieux.

« Toute équation … » est le point clé ! Toute ? Eh bien non !Choisissez a= =b 0 et c=2, par exemple, et l’équation obtenue, 2=0, définit simplement l’ensemble vide ! Choisissez

0

a= = =b c et l’équation obtenue, 0=0, définit … le plan tout entier.

Exercice N°12 Æ VRAI On a :

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 4 4

1 1 2 4 4

1 2 9

1 2 3

x y x y

x y

+ − + =

⇔ − − + + − =

⇔ − + + =

Le plan étant muni d’un repère orthonormal, cette équation est bien celle du cercle de centre

( )

A 1 ;−2 et de rayon 3.

On peut procéder de diverses façons. On a, par exemple, en tenant compte de CAJJJG = CBJJJG = CDJJJG =1

:

( )

( ) ( )

AB.CD AC CB .CD AC.CD CB.CD CA.CD CB.CD

CA CD cos CA, CD CB CD cos CB, CD

cos CA, CD cos CB, CD

= + = + = − +

= − × × + × ×

= − +

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG JJJG JJJG JJJG

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Lycée Fénelon Sainte-Marie 2 - 3 M. Lichtenberg Or, les triangles ACD et BCD sont équilatéraux. On en déduit immédiatement que l’on a :

(

^{CA, CD}^{JJJG JJJG}

)

^{= ±}^{π π}₃ ^{( )}² ^et

(

^{CB, CD}^{JJJG JJJG}

)

^{= ±}^{π π}₃ ^{( )}² ^{. D’où :}^{cos CA, CD}

(

^{JJJG JJJG}

)

⁼^{cos CB, CD}

(

^{JJJG JJJG}

)

^et,

finalement : AB.CDJJJG JJJG=0 .

Exercice N°14 Æ VRAI

D’après l’exercice précédent : AB.CDJJJG JJJG=0

. Les vecteurs ABJJJG et CDJJJG

sont bien orthogonaux.

Exercice N°15 Æ FAUX Les vecteurs BC

JJJG

et CD JJJG

sont deux vecteurs non colinéaires du plan (^BCD)^{. Si AB}^JJJG^{était un}

vecteur normal au plan (^BCD), il serait orthogonal aux vecteurs BC JJJG

et CD JJJG . Certes, les vecteurs ABJJJG

et CDJJJG

(cf. l’exercice précédent) sont orthogonaux mais les vecteurs BA

JJJG et BCJJJG

ne le sont pas puisque :

( ) ( )

¹

BA.BC BA BC cos BA, BC cos BA, BC cos 0

3 2

⎛ π ⎞

= × × = = ⎜⎝± ⎟⎠= ≠

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

.

Si c’était le cas, le vecteur AB^JJJG, dont ce représentant est obtenu à partir de deux points distincts du plan (^ABD), serait orthogonal à tout vecteur non nul obtenu à partir de points du plan (^BCD) comme, par exemple, le vecteur BCJJJG

. Or, d’après l’exercice précédent, les vecteurs AB^JJJG et BC

JJJG

ne sont pas orthogonaux.

Le repère considéré étant orthonormal, on a simplement :

( ) ³ ( )

. 1 2 2 5 1 2 3 5 0

u v= × + − × −⎛⎜⎝ 2⎞⎟⎠+ × − = + − = G G

Les vecteurs uG et vG

sont bien orthogonaux.

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Lycée Fénelon Sainte-Marie 3 - 3 M. Lichtenberg Exercice N°18

Æ FAUX

Le repère considéré étant orthonormal, le vecteur ⁿ^G(^{3 ; 1 ; 1}⁻ ) est normal au plan d’équation 3x− + =y z 0. Or, le vecteur AH^JJJG admet pour coordonnées : 2 1 2

; ;

3 3 3

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠. Comme

2 2

3 3

3 1

− −

≠ , les vecteurs nG et AHJJJG

ne sont pas colinéaires et H ne peut être le projeté orthogonal de A sur le plan d’équation 3x− + =y z 0.

A titre d’entraînement, je vous conseille de déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de A sur le plan d’équation 3x− + =y z 0. On obtient le point : 9 3 3

A ' ; ;

11 11 11

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Le repère considéré étant orthonormal, les vecteurs ⁿ^G(^{1 ; 2 ; 5}⁻ )^et^t^G(^{1 ; 2 ; 1})^{sont des}

vecteurs normaux, respectivement des plans P ^etQ ^.

Or : ^{n t}G^.G= × + × + − × = + − =^{1 1 2 2} ( )⁵ ^{1 1 4 5} ⁰

. Les vecteurs nG

et tG

sont orthogonaux et, de fait, les plans P ^etQ sont perpendiculaires.

Exercice N°20 Æ VRAI Le vecteur ABJJJG

admet pour coordonnées (^{2 ;}⁻^{2 ; 2})^.

Or, le repère considéré étant orthonormal, le vecteur ⁿ^G(^{1 ; 1 ; 1}⁻ ) est normal au plan d’équation x− + =y z 0. Ainsi, on a : ABJJJG=2nG

est également un vecteur normal au plan d’équation x− + =y z 0.

Par ailleurs, le point I, milieu du segment [ ]^AB , admet pour coordonnés : 0 2 4 2 1 3

; ;

2 2 2

+ + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠, soit : (^{1 ; 3 ; 2}). On constate alors que les coordonnées du point I vérifient l’équation x− + =y z 0.

En définitive, le plan d’équation x− + =y z 0 passe par le milieu du segment [ ]^AB ^{et est}

perpendiculaire à la droite ( )^AB . Il s’agit bien du plan médiateur du segment [ ]^AB ^.

Cf. le cours : il s’agit d’un ½ espace fermé de frontière le plan d’équation x=0.