Première partie

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/14

Mines Maths 2 PC 2004 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Emmanuel Delsinne (ENS Cachan) ; il a été relu par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet d’analyse vise principalement à calculer des séries numériques à l’aide d’intégrales. Les séries que l’on cherche à calculer sont des séries dont les termes généraux s’expriment à l’aide des coefficients binomiaux. Le problème est divisé en quatre parties quasiment indépendantes les unes des autres (seule la dernière question utilise un résultat de la deuxième partie).

• La première partie est consacrée à l’étude de deux suites de polynômes.

On parvient, à la fin de cette partie, à exprimerCⁿ_2nsous la forme d’une somme finie de coefficients binomiaux. On démontre ainsi de manière analytique une formule que l’on obtient usuellement par un raisonnement « à main levée » sur les manières de choisirkoun−kéléments parmin.

• Dans la deuxième, on utilise deux intégrales à paramètres pour calculer d’une part une série numérique (série lacunaire alternée reliée à la série harmonique), d’autre part chaque terme d’une suite d’intégrales. Ces intégrales sont dites

« de Wallis » : on retrouve ici leur forme usuelle après un changement de variablex= sint. On démontre donc de manière analytique, une nouvelle fois, un résultat usuellement obtenu par un raisonnement ad hoc de type récurrence.

• On utilise dans la troisième partie des fonctions que l’on développe en série entière, pour calculer des séries numériques difficiles. Une méthode classique de développement en série entière par une équation différentielle est employée à la question 15.

• Enfin, la dernière partie est en quelque sorte une généralisation des deux précédentes. On aboutit, à l’issue de cette partie, à l’expression deCⁿ_2ncomme somme infinie de coefficients binomiaux.

On utilise tout au long du problème le développement en série entière des fonctions du typet7→(1 +t)^α, α appartenant àR, et les techniques d’interversion de limites et d’intégrales.

Ce sujet ne comporte pas de difficulté insurmontable, mais il nécessite beaucoup de soin dans les nombreux calculs.

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Indications

5 Identifier, dans les expressions de Pn trouvées à la question précédente, le coefficient du terme de degrén.

7 Développer1/(1 +t^b)en série entière pour écrire la fonction sous la forme d’une série. Majorer l’intégrale de la valeur absolue du reste d’ordren de la série par un terme qui tend vers 0 quandntend vers l’infini.

8 Remarquer que S = J(1,3) puis développer la fraction rationelle 1/(1 + X³) en éléments simples pour calculerS.

10 Écrire la fonction sous la forme d’une série. Puis, deux possibilités :

• raisonner comme à la question 7 : majorer l’intégrale de la valeur absolue du reste d’ordren de la série par un terme qui tend vers 0 quandn tend vers l’infini.

• utiliser le théorème de convergence dominée.

12 Utiliser l’unicité du développement en série entière et les résultats des questions 10 et 11.

15 Chercher une solution de l’équation différentielle trouvée à la question précédente sous forme de série entière et conclure avec le théorème de Cauchy-Lipchitz.

17 Remarquer queΣ =

∞

P

k=0

a2n+1

2ⁿ , oùan désigne le coefficient d’ordrendu dévelop- pement deg en série entière. Puis chercher en quel point deI = ]−1 ; 1 [on peut appliquerg pour calculer cette série.

18 Exprimerhen fonction deg^′.

19 Exprimer les deux séries en fonction deg et hgrâce aux résultats des questions 16 et 18.

22 ÉcrireF(t)/(1−t)^αsous la forme d’une série et utiliser le théorème de convergence dominée.

23 Pour calculer Z ¹

0

tⁿ^−1/2

√1−tdt, effectuer un changement de variable judicieux afin de reconnaître l’intégrale calculée à la question 12.

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Première partie

1 Montrons tout d’abord l’existence de l’intégraleIa,k pour tout réelastrictement positif et tout entier naturelk. Soitha,k la fonction définie sur] 0 ; 1 ]par

ha,k:

(] 0 ; 1 ]−→R

x 7−→x^a⁻¹(x−1)^k

Cette fonction est continue et donc intégrable sur tout intervalle du type[ε; 1 ]avecε strictement positif. Au voisinage de0,

ha,k(x) ∼

x→0(−1)^kx^a⁻¹

etha,k est donc intégrable caraest strictement positif. Par conséquent,

∀a >0 ∀k∈N Ia,k existe

CalculonsIa,0: Ia,0= Z 1

0

x^a⁻¹dx= 1 a

Puis calculonsIa,k en fonction deIa^′,k−1 pourksupérieur ou égal à 1.

On sait calculerIr,0pour tout réelrstrictement positif. On va donc chercher à diminuer progressivement l’indicek deIa,k. Pour cela, on va exprimerIa,k

en fonction deIa^′,k−1, oùa^′ désigne un réel strictement positif qui peut être différent dea(le calcul montrera qu’il s’agit dea+ 1).

À l’aide d’une intégration par parties, on a :

∀ε∈] 0 ; 1 [

Z ¹

ε

x^a⁻¹(x−1)^kdx= x^a

a (x−1)^k ¹

ε

− Z ¹

ε

x^a

ak(x−1)^k⁻¹dx Ainsi, en faisant tendreεvers 0 on obtient :

∀k∈N^∗ ∀a >0 Ia,k =−k

a Ia+1,k−1

d’où, par récurrence immédiate,

Ia,k = (−1)^k k(k−1)· · ·1

a(a+ 1)· · ·(a+k−1)Ia+k,0

soit encore, en injectant la valeur deIa+k,0,

∀k∈N ∀a >0 Ia,k = (−1)^k k!

a(a+ 1)· · ·(a+k)

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2 Pour tout entier naturel n, l’intégrale de la fonction un sur le segment [ 0 ; 1 ] correspond àIn+1,n. D’après la question précédente :

In+1,n= (−1)ⁿ n!

(n+ 1)· · ·(2n+ 1)

= (−1)ⁿ (n!)² (2n+ 1)!

Finalement, ∀n∈N

Z ¹

0

xⁿ(x−1)ⁿdx= (−1)ⁿ (2n+ 1)Cⁿ_2n 3 Pour tout entier naturel n, en développantun, on obtient :

∀x∈R un(x) =x²ⁿ+ Rn(x)

oùRn est un polynôme de degré strictement inférieur à 2n. Par suite, Pn(x) = 1

n!

dⁿ dxⁿun(x)

= 1 n!

(2n)!

n! xⁿ+ Qn(x)

Pn(x) = Cⁿ_2nxⁿ+ Sn(x)

oùSn est un polynôme de degré strictement inférieur àn. Ainsi,

Pnest de degré net le coefficient de son terme de degrénest Cⁿ2n. 4 La formule du binôme de Newton permet de développerun.

∀n∈N ∀x∈R un(x) =xⁿ

n

P

k=0

C^k_nx^k(−1)ⁿ⁻^k

=

n

P

k=0

C^k_n(−1)ⁿ⁻^kx^n+k Ainsi, en dérivant chaque terme de la somme :

Pn(x) = 1 n!

n

P

k=0

C^k_n(−1)ⁿ⁻^k(n+k)!

k! x^k et ∀n∈N ∀x∈R Pn(x) =

n

P

k=0

(−1)ⁿ⁻^kC^k_nC^k_n+kx^k (1) D’autre part, la formule de dérivation de Leibniz permet d’écrire directement :

Pn(x) = 1 n!

n

P

k=0

C^k_n

dⁿ⁻^k

dxⁿ⁻^kxⁿ d^k

dx^k(x−1)ⁿ

= 1 n!

n

P

k=0

C^k_n n!

k!x^k n!

(n−k)!(x−1)ⁿ⁻^k

d’où ∀n∈N ∀x∈R Pn(x) =

n

P

k=0

C^k_nC^k_nx^k(x−1)ⁿ⁻^k (2)